Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
131
ных интегралов и связанных с этим свойств вихря вектора, мы рассмотрим в настоящем параграфе зопрос о поверхностных интегралах, о расхождении вектора и о его свойствах.
2. Возьмем в пространстве некоторую поверхность замкнутую или незамкнутую. Определим теперь поверхностный интеграл вектора а по поверхности или, кав его чаще называют, поток вектораа через поверхность следующим образом. В каждой точке поверхности проведем единичный вектор нормали а; мы условимся при этом в том случае, когда поверхность S — замкнутая, брать всегда направление внешней нормали; в том же случае когда поверхность S незамкнутая, мы будем брать по произволу одно из двух направлений нормали (оговаривая, конечно, какое из этих двух направлений мы выбираем), однако, так, чтобы направление нормали изменялось непрерывно, когда мы переходим от какой-либо точки поверхности в соседним.
Если а — значение вектора в некоторой точке M поверхности St an — единичный вектор нормали к поверхности в той же точке, то, как всегда, через
On = а«п = ах cos (n, х) + ау cos (п, у) + аг cos (n, z)
мы обозначаем проекцию вектора а на направление нормали, т. е. нормальную составляющую вектора а.
Разделим теперь поверхность S на большое число малых элементов, каждый из последних изображается, как зто было выяснено в § 6, вев-тором AS- Например, если мы впишем в поверхность S многогранную поверхность, каждая грань ее будет изображаться вектором, направленным по нормали к этой грани и равным по величине площади этой грани. Составим для каждого элемента скалярное произведение a-AS в образуем сумму 2 a. AS, распространенную по всем элементам поверхности. Эта сумма стремится к пределу, когда все элементы поверхности стремятся к нулю, если только сделать предположение (которое мы всегда будем считать выполненным), что поверхность4 может быть разделена на конечное число кусков, каждый из которых обладает непрерывной кривизной и на каждом из которых вектор а меняется непрерывным образом. Получаемый предел обозначается через
\ a.dS = lim Sa-^s
и называется поверхностным интегралом вектораа по поверхности S или потоком вектораа через поверхность
Если численную величину элемента поверхности dS мы обозначим через dS, то мы, очевидно, будем иметь
dS = adS
и поэтому
a.dS = (a.n)aiS = andS
10* 132
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
Поток вектора а через поверхность S может быть поэтому записан также в одной из следующих форм:
= jj andS = jja-n dS = = J [er cos (n, x) + Oy cos (n, y) a2 cos (n, z)J dS (2)
Наконец, вводят следующие обозначения:
cos (n, х) dS = dy dz cos (n, у) dS = dz dx cos (n, z) dS = dx dy
понимая, например, под dy dz проекцию элемента dS на плоскость yz, взятую с надлежащим знаком (положительным, если нормаль к поверхности в той точке, в которой рассматривается элемент, образует с осью х острый угол, и отрицательным, если угол нормали с осью — тупой).
Тогда поверхностный интеграл принимает следующий вид:
J а-dS =^(ах dy dz + av dz dx + az dx dy) (3)
S S
Вычисление поверхностных интегралов производится по обычны-м правилам вычисления двойных интегралов.
3. Рассмотрим сейчас в качестве примеров несколько поверхностных интегралов, которые понадобятся нам в дальнейшем.
1) Пусть вектор а есть постоянный вектор а„. Тогда, если S замкнутая поверхность, то
<?а0.о« = 0 (4)
S
В самом деле, в силу постоянства вектора а,,, его можно вынести из-под знака интеграла, так что можно написать
ф a0.rfS = ао-^jrfS
S S
Но, как было установлено в § б, п. 4, вектор замкнутой поверхности равен нулю, т. е.
^dS = O (5)
S
Иными словами
<|> cos (в, х) dS = 0, cos (п, у) dS = 0, ф cos (n, z ) dS = 0 (6)
S S
Поэтому, действительно, получаем формулу (4). ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ
133
2) Пусть теперь а = г -случае
Фиг. 50
радиусу-вектору точки. Докажем, что в этом ф r.dS = 3V (7)
S
где V — объем, ограниченный замкнутой поверхностью >S- Б самом деле, рассмотрим какой-либо бесконечно малый телесный угол, выходящий из начала координат, и пусть он вырезает из поверхности несколько элементов. Рассмотрим для определенности случай, изображенный на фиг. 50, когда такой телесный угол вырезает из поверхности три ' элемента.
Если радиусы-векторы из точки О, -ведущие к этим элементам, обозначить через T1, ra) га, а единичные векторы нормалей к этим элементам через D1, П2, Hs, ТО очевидно, ЧТО T1-D1 есть
высота пирамиды с вершиной О и основанием M1N1 = dSlt поэтому
T1-AiS1 = T1-H1 AS1 = 3 об. OM1N1
Точно так же тг-п2 есть ззятая со знаком минус высота пирамиды с вершиной О и основанием M2N^ — dS%, поэтому
г4-afS, = Г2.п2 = — 3 об. OMiN2
Точно так же
r3.dS3 = 3 об. OM3N3 В результате получаем
r3-dS, + T2-CiS2 + T3-AiS3 = 3{об. OM1Nt - об. ОМ,N1 4- об. OM3N3} = = 3 (об. M1M1N3N1 + об. OMiN3)
т. в. как раз утроенный объем, вырезаемый из объема, ограниченного поверхностью S, нашим телесным углом. Повторяя это рассуждение по отношению ко всем телесным углам с вершиной в О, мы и подучим в результате суммирования формулу
