Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
т. е. работа, совершенная консервативной силой, равна увеличению силовой функции или, что то же, уменьшению потенциала. В частности работа консервативной силы на замкнутом пути всегда равна нулю
Пусть материальная точка движетси под действием консервативной силы.
Из закона живых сил [формула (59) § 9] имеем
d^f ^ F.dT
В этом случае найдем
d ^f ^dU
Следовательно,
miis гг
--U — const
Таким образом, сумма кинетической энергии — ту2 и потенциальной энергии — D во все время движении сохраняет свое значение.
Задача 101. Показать, что если сила F — центральная, т. е. направлена к неподвижной точке О и зависит только от расстояния г до этой точки, то она имеет потенциал.
По условию
F = I^Lt 120
вЕкторныЙ анализ
Гл. Il
Составим работу этой силы вдоль кривой L, соединяющей точки M0(T0) и М(т).
5 4іr'dr
м„
Но, как уже упоминалось ранее,
r.rfr = г dr
Поэтому для работы силы F получаем выражение
M
5 ф И dr = Ф (г) - Ф <г0)
Af,
если Ф' (г) — ф (/•); так как это выражение не зависит от пути интегрирования, а только от конечных точек пути интегрирования, то сила F имеет потенциал, и притом равный — Ф (г). Например, если взять центральную силу F, обратно пропорциональную квадрату расстояния до точки О, то будем иметь
F=-^r
г*
Следовательно, здесь
Ф M = - ^r. Ф (г) = -f , F = grad ±
Задача 102. Показать, что если сила F в каждой точке направлена по перпендикуляру к некоторой прямой (например оси г) и зависит только от расстояния р до этой прямой, то она имеет потенциал; найти последний. Ответ. Если
= ЇМ
то
F = XjX- р, где р = xi -j- yj
P
F = — grad Ф, где Ф — — f ф (р) rfp
Полезным применением полученных результатов является также отыскание функции ф по ее полному дифференциалу. Допустим, что мы знаем, что выражение
dtp = ах (х, у, г) dx Oy (х, у, z) dy -f- az (х, у, z) dz
является полным дифференциалом. Тогда для отыскания функции ф мы можем воспользоваться тем, что путь интегрирования можно брать по произволу. Чаще всего удобным окааывается такой путь интегрирования. Сначала идем из точки Ma (ха, у0, Z0) параллельно оси х до точки M1 (X, Ус, Za), на этом пути dy = dz = 0 и поэтому
м,
J
М.
«1 x
^ a-dr = ^ ах (ж, у», z„) dx градиент-. его свойства
121
Затем идем из точки M1 (ж, уа, Z0) параллельно оси у до точки М% {х, у, z0), на этом пути dx = dz — 0, и поэтому
M, у
{ а . dt = ? Oy (х, у, z0) dy
і, І
Наконец, из точки M2 (х, у, Za) идем параллельно оси z до точки M (ж, у, z); на этом пути dx = dy = 0, и поэтому
м г
^ а • dt = ^ ах (х, у, z) dz
Ііг г.
В результате, идя по пути M0M1MtM, мы приходим к следующему выражению для функции 9:
Ф (х, у, z) = ф (жв, уа, Z0) -H
х у г
-H ^ ах (х, у0, z0) dx -1- ^ Oy (х, у, Zt) dy +^az (х, у, z) dz (25)
№ г.
В качестве примера найдем ф по полному дифференциалу
(AP = (2ху -H га) dx + (2yz -H za) dy -H (2 zx + у2) dz
Полагая X0 = y0 = Z0 = 0, сразу найдем
V 2
Ф (ж, у, z) = ^ ж2<й/ + ^ (2zx -H г/а) dz -H C = х2у -H і?х -H уЧ 4- C
O D
5. Теорема о том, что линейный интеграл градиента ф по замкнутому контуру равен нулю, была нами выведена в предположении, что скаляр ф задан однозначным образом. Если ф будет многозначной функцией, эта теорема перестает быть верной. Разъясним на примере, в чем тут дело. Зададим ф следующим образом: во всякой полуплоскости, проходящей через ось z, наш скаляр имеет постоянное значение, равное углу, составленному рассматриваемой полуплоскостью с полуплоскостью xOz.
Определяя ф, как функцию х, у, z, получим:
Ф = arc tg —
Поэтому
Эф___у дф__X Эф _-
— г» + у»' ду і=»-Н у"' ~дГ —
Заставим точку обойти ось z, двигаясь все время в положительном направлении, и вернуться в исходное положение; угол ф будет непрерывно увеличиваться и при полном обходе увеличится па 2л; таким образом, линейный интеграл вектора grad ф но всякой замкнутой кривой, обходящей ось Z один раз в положительном направлении, равен 2л, а не нулю. Причина этого заключается в многозначности функции ф, причем ось Z является особенной линией для функции ф, так как при прибли- )22
векторный анализ
Гл. II
женин точки к оси Z значение функции ф остается неопределенным. Чтобы сделать поле функпии ф непрерывным, мы должны выделить ось Z, окружив ее цилиндром малого радиуса. Но получающееся таким образом пространство уже не будет односвязвым; оно будет д в у-связным.
Односвязным называется такое пространство, в котором любая замкнутая линия может быть стянута в точку непрерывным образом, не задевая границ области. В нашем случае этого сделать нельзя, ибо контур, окружающий ось z, таким образом стянуть в точку нельзя. Чтобы превратить наше пространство в односвязное, мы можем воспользоваться следующим приемом: проведем полуплоскость Юх и будем считать обе ее стороны также границами области. Этим контуры, окружающие ось z, запрещаются, все же остальные контуры могут быть стянуты в точку. Поэтому область делается односвязной; так как нам понадобилось присоединить одну границу, то первоначальное пространство называется двусвязным. Если бы нам надо было провести две границы, чтобы сделать область односвязной, то мы назвали бы область трехсвязной и т. д.
