Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 48

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 144 >> Следующая


(J -gdz + \%dz) dS = [<p (M1) - <р (M2) -+- <р (M3) - ф (M4)] dl и и

Но, как было объяснено выше, в точках M1 и Ma d H = cos (a, z) dS

в точках же Ms и M4

— d 2 = cos (a, z) dS

Поэтому та часть объемного интеграла, которая происходит от части объема, вырезаемой цилиндром с основанием d 2, равна той чаоти поверхностного интеграла

ф ф cos (a, z) dS

в

которая происходит от элементов поверхности, вырезаемых этим цилиндром из поверхности S и находящихся у точек M1, Ma, Ms, Mv Производя суммирование по всем элементам площади S, мы получим, что

[^dV = <?ф cos (a, z)dS

V 3

Применяя формулы (14) к функциям ах, Ou, ах, мы получим ^-^dV = ф ах cos (а, х) dS

V S

Ywdv =* § aV 003 <п> у) м

V S

f OjjldV = <| аг сое (a, z) dS

V2 S 140

векторный АНАЛИЗ

Гл. Il

Сложение этих трех формул вновь приводит к формуле Гаусса — Остроградского (13). Получив тем или другим способом формулу Гаусса — Остроградского (13), мы сможем теперь доказать существование предела (10) для объема V любой формы, стягивающегося к точке Р.

В самом деле, по теореме о среднем

Г CdaX I daV I даг\ JV-V {да* J_ daV 0M

iV&r -Щ + W) av - V + W

где значение суммы в правой части берется в некоторой средней точке Q объема V.

На основании формулы Гаусса — Остроградского мы имеем поэтому, что

Будем теперь стягивать объем V к точке Р, тогда и Q непременно в пределе перейдет в точку P и так как производные

дах дйу daz

~дх ' ~ду ' Hz по предположению непрерывны, то мы получим, что

-**)-?+?+?

и, следовательно,

Таким образом формулы (H) и (13) могут быть получены одна из другой.

7. Чтобы уяснить себе, как на графическом представлении поля сказывается то или другое распределение div а, проведем линии век-гора а и рассмотрим трубку этих линий, пересекающих какую-нибудь площадку dS, проходящую через некоторую точку P и перпендикулярную к линии вектора, проходящей через точку Р. Эта трубка состоит, очевидно, из а Плиний, если мы условимся проводить векторные линии так густо, чтобы число векторных линий, нормально пересекающих площадку единичной площади, было бы пропорционально величине вектора. На небольшом расстоянии dl, считая по векторной линии, проведем другое сечение трубки dS', тоже перпендикулярное к векторным линиям. Через него проходит уже a' dS' линий.

Вычислим поток через всю поверхность трубки. Через боковую поверхность трубки, состоящую из линий вектора, поток, очевидно, отсутствует, ибо на ней <х„ = 0. Потоки же через основания трубки равны — adS н a dS'. поток вектора через поверхность

141

Поэтому полный поток будет a' dS' — adS, a так как рассматриваемый объем имеет величину dSdl, то расхождение будет

a' dS' — adS

dSdl I15'

Если a' dS' >¦ adS, то расхождение положительное; через сечение dS' выходит больше векторных линий, чем вошло через сечение G&S, значит, в рассматриваемом объеме dS dl возникло a' dS' — a dS векторных линий, в единице же объема возникает div а векторных линнй; таким образом div а служит мерой возникновения или уничтожения (при отрицательном div а) линий.

Если мы обратимся к интерпретации поля при помощи фиктивной жидкости, то мы должны будем сказать, что div а служит мерой возникновения или уничтожения жидкости, так как, например, при a! dS' > a dS больше вытекает жидкости, чем втекает. Таким образом в каждой точке пространства мы имеем как бы источник (положительный или отрицательный возникновения жидкости, a div а служит мерой обильности этого источника.

Рассмотрим поле скоростей действительной несжимаемой жидкости. В этом случае объем жидкости, выходящей через какую-нибудь поверхность, всегда равняется объему входящей, полный поток равен нулю я потому

div а = 0 (16)

Это уравнение называется в гидродинамике уравнением неразрывности несжимаемой жидкости.

Векторные поля, у которых div а = 0, имеют важное значение и называются свободными от источников или солено-и д а л ь н ы м и, т. е. трубчатыми. Последнее название связано с тем обстоятельством, что в соленой даль-ном поле векторные линии не могут нигде ни начинаться, ни кончаться; они могут уходить в бесконечность или быть замкнутыми.

Чтобы показать это, докажем следующее основное свойство солено- Фит 52 идальных векторов: для солено-

идалъного вектора поток вектора через любое поперечное сечение векторной трубки имеет одну и ту же величину.

Для доказательства рассмотрим векторную трубку, ограниченную боковой поверхностью 2' (фиг. 52). Пересечем эту трубку двумя поперечными сечениями Zn S1 и рассмотрим замкнутую поверхность S, образованную сечениями 2, S1 а частью боковой поверхности трубки 2', заключенной между 2 и S1. 42

векторный анализ

Гл. Il

Обозначая через V объем, лежащий внутри поверхности 5, и применяя к этому объему теорему Гаусса — Остроградского, найдем, что

^on dS =^ div adV

Но по условию

div а = О

Следовательно, объемный интеграл обращается в 0, а значит и

a^dS =O

или, что то же самое

andS + ^ andS + ^ OnCLS = О
Предыдущая << 1 .. 42 43 44 45 46 47 < 48 > 49 50 51 52 53 54 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed