Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве второго примера рассмотрим векторное поле а = grad ф,
где
Ф = -г-+ T
p1 г2
причем г, и гг опять расстояния переменной точки P до двух фокусов А в В. В электростатике такое поле получается в том случае, если в точках А и В находятся отрицательные электрические ааряды одинаковой величины. Чтобы построить графически поле потенциала <р, мы строим в плоскости чертежа, которой принадлежат точки А и В, семейство ок-
R R R
ружностей с центрами в точках А и В и с радиусами R, , -у-, -г-, • • • градиент: его свойства
111
(так как ноле симметрично относительно сгрямой AB, достаточно рассмотреть ноле только в этой плоскости). Проводя опять диагональные кривые, мы получим линии уровня ф = const.
В каждой точке grad ф направлен по нормали к линии уровня. При построении нужно брать R большим, например, равным R — 10AB, чтобы сетка кривых получилась достаточно густая.
Но представляет большой интерес отыскать векторные линии вектора a = grad ф. В только что рассмотренном случае это будут силовые линии, происходящие от двух одинаковых зарядов, находящихся в точка* А а В. Укажем способ построения этих силовых линий, который может быть применен и- к целому ряду других случаев.
Для втого нам предварительно надо найти градиент еще одной функции, а именно, рассматривая в плоскости полярные координаты 9 в г точки M (фиг. 47), мы можем рассматривать 9 как функцию точки М. Ланвямв уровня этой функции 6 являются, очеввдно, полупрямые, выходящие из полюса О полярной системы.
Поэтому grad 9 направлен но перпендикуляру к ОМ. Чтобы найти его величину, достаточно заметить, что бесконечно малому приращению угла db соответствует расстояние между двумя бесконечно близкими линиями уровня, равное dn = г d6, поэтому мы имеем:
Igradflj -.g.-і
Итак, вектор grad 9 направлен но перпендикуляру к OM (конечно в сторону возрастания в) в но численной величине равен —. Сравним
его с вектором grad г — ~ последний направлен по OM и по численной величине равен 1. Отсюда мы можем вывести заключение, что еелн мы повернем вектор grad г на 90° в направлении возрастающих углов 9, то получим вектор г grad в.
Применнм этот результат к нашей задаче. Мы имеем
1 1 a = gradср - — —rgrad T1-—Tgrad ra
' ! rI
Повернем теперь в каждой точке этот вектор на 90° против часовой стрелки. Вводя углы Ai в 02 (фиг. 48), мы получим новый вектор Ь, для которого, согласно предыдущему, будем иметь выражение
b = - -і-grad A1 - -і grad 9a 112
векторный анализ
Гл. Il
Фиг. 48
Но если расстояние точки P до прямой AB обозначить через А, то, очевидно,
T1 sin 8, = h, . г2 зіп 9а = h
и, следовательно, предыдущее выражение можно переписать, пользуясь формулами (20) и (18), так:
1 1 b =--j- (sin 0! grad 9, + sin 02 grad 9j) — -j^ grad (cos B1 -4- cos 9j)
Ясно теперь, что если мы рассмотрим функцию точки
•ф = cos S1 + cos 0j
то вектор b будет всюду направлен по нормалям к линиям уровня функции ф, а следовательно, вектор а, перпендикулярный к вектору Ь, будет направлен всюду по касательной к линии уровня функции ф. А это по самому определению векторных линий означает, что линии уровня функции ф являются векторными линиями вектора а = grad ф, т. е. искомыми силовыми линиями. Для их графического построения нужно, согласно предыдущему, начертить хотя бы систему прямых
cos 8, = 0, ±0,1, ±0,2.....±1
затем систему прямых
Cose2 = 0, ±0,1, ±0,2, . . . , +1
и затем произвести графическое сложение.
Совершенно аналогично можно рассмотреть случай электростатического поля, происходящего от двух произвольных зарядов одинакового в ли равного знака, чему соответствует функция
m =----
Т 'і г,
а целый ряд других примеров.
Задача 87. Вычислить grad (с-г), где с — постоянный вектор. Так
как
ф = C«r = CxX + Суу + CzZ
то
grad (с-г)
J-Jf- + k 1Г = C*S + c»i + c*k
с .
Другой способ вычисления, более короткий, основывается на том, что если d<f — air.а, то а = grad ф.
В нашем случае «ftp = d (с-г) = c-dr, следовательно,
grad (с>г) = е градиент-. его свойства
113
Задача 88. Вычислить grad [ схг |2, где с — постоянный вектор.
Вычисляем d. (схг) . (схг) = 2 (схг). (cxrfr). Положим на время cxr=b, тогда в векторно-скаляряом произведении b-(cxdr) можно произвести циклическую перестановку векторов
b-(cxdr) = dr-(bxc) = dt' [(схг)-с]
значит
d [(схг)-(схг)] = oor-2 [(схг)Xс]
Это показывает, что
grad I с X г I* = 2 (с X г) хс = 2г (с.с) — 2с (г«с)
Задача 89. Бели <р (к, v) есть сложная функция от г через посредство двух вспомогательных функций и и г?, то доказать формулу
grad ф = -|jj-grad в + grad v
Задача 90. Воспользовавшись тем, что эллине T1 Ч- r3 = 2а есть линия уровня для функции ф — г, + га, где /-j и г2 суть расстояния переменной точки до двух фокусов (длины радиус-векторов), доказать, что нормаль к эллипсу делит пополам угол между радиусами-векторами.
З а д а ч а 91. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для гиперболы T1 — r2 = 2а, а также для параболы г — х = р с фокусом в начале координат.
