Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
S E' S1
Но на поверхности S' мы имеем Oa = О, ибо вектор а в точке поверхности S' направлен по касательной к векторной линии, лежащей на в той поверхности и, следовательно, составляет с нормалью п к этой поверхности S' угол в 90а.
На поверхностях 2 и S1 направления внешней нормали различны; изменим поэтому направление нормали у поверхности Z на прямо противоположное, тогда и значение потока вектора
S
¦вменит свой знак, поэтому окончательно получаем
^ a^dS= \a„dS
S Zt
что и доказывает высказанное выше свойство соленоидального вектора. Так как поток
S
дает число векторных линий, проходящих через сечение 2, и так как мы получили, что это число вдоль векторной трубки не меняется, то отсюда и вытекает, что в соленоидальном поле векторные линии нигде не могут ни начинаться, ни кончаться.
Очень близко к только что доказанному свойству соленоидального вектора еще другое его свойство. А именно, возьмем какой-нибудь контур L, и пусть две поверхности S я S1 опираются на этот контур.
Докажем, что потоки соленоидального вектора а через эти две поверхности равны между собой, если поверхность S1 может быть непрерывной деформацией переведена в поверхность S и если после этой деформации направления нормалей к поверхностям S и S1 совпадут. Доказательство опять ооновывается на применении формулы Гаусса — Остроградского к объе-
поток вектора через поверхность
142
иу V, ограниченному поверхностями S и J1; если, например, нормаль к поверхности S1 является для объема внешней, а нормаль к S — внутренней, то мы будем иметь
^ div a dV — ^an dS -^on dS у si s
и так как в нашем случае левая часть равна нулю, то и правая часть равна нулю, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема аналогична теореме о независимости криволинейного интеграла потенциального вектора от пути интегрирования, потому что она может быть высказана еще в такой форме:
Если вектор а соленои-дольный, . то поток этого вектора через любую поверхность S, натянутую на заданный контур L, не зависит от вида этой поверхг ности, а только от контура L.
Однако теорема о том, что криволинейный интеграл от потенциального вектора по замкнутому контуру равев нулю, справедлива только для случая односвязного пространства. Аналогично этому доказанная только что теорема справедлива только для случая таких областей, в которых всякая поверхность типа сферической поверхности может быть стянута в точку, не выходя из пределов области.
Рассмотрим два примера. Пространство, заключенное между двумя сферами S1 и St, не принадлежит к этому классу областей, ибо, если взять сферическую поверхность, расположенную между S1 и St, то ее нельзя стянуть непрерывной деформацией в нашей области в точку. Однако, это пространство будет односвязным, ибо всякая замкнутая кривая в этой области может быть стянута в точку. Другим примером является кольцо (фиг. 53); мы уже знаем, что эта область двусвязна, однако, легко сообразить, что эта область будет принадлежать к вышеуказанном] классу областей.
8. До сих пор мы предполагали расхождение вектора непрерывной конечной функцией поля. Во многих случаях приходится, однако, иметь дело с таким распределением вектора а, что объем V, в котором происходит интенсивное образование (или уничтожение) жидкости (при интерпретации поля жидкостью), имеет очень малую толщину, так что математически мы можем заменить его поверхностью. В других случаях он сводится даже к линиям и точкам. Такие точки называются источниками или стоками, смотря по тому, образуется в них жидкость или уничтожается.
Разберем в качестве типичного примера, каково будет поле потенциального вектора, расхождение которого всюду, кроме начала векторный анализ
Гл II
координат, равно нулю; в начале же координат пусть находится источник с обильностью е, гак что в каждую единицу времени из этого источника вытекает е единиц жидкости. Таким образом поток вектора а через бесконечно малую замкнутую поверхность s0, окружающую начало координат, равен е. Покажем, что поток через любую поверхность S, окружающую начало координат, равен е. В самом деле, применим теорему Гаусса— Остроградского (12) к объему, заключенному между поверхностями so и S. Так как div а = 0, то объемный интеграл пропадает. Поверхностный же интеграл через поверхность равен, очевидно, — е, потому что теперь за направление внешней нормали к поверхности S0 надо принимать то, которое смотрит внутрь объема, ограниченного поверхностью S0 а содержащего начало координат.
Поэтому
J andS = в (17)
S
По условию вектор а потенциальный
а = grad ф
и естественно по симметрии считать ф функцией только расстояния г.
Но тогда
а = grad ф =ф'(г)у
Возьмем в формуле (17) за поверхность S поверхность сферы радиуса г с центром в начале координат, тогда
а = -7 . = ф' (г) и поток вектора будет 4ЛГ®ф' (г); значит
4jtr^p' (г) = е
Отсюда Итак,
Изучим поле полученного вектора а несколько подробнее. Проверим, прежде всего, что этот вектор является соленоидальиым. В самом деле для проекции его мы имеем, очевидно, выражения
