Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
^ а.ііг
L
Этот интеграл часто пишут в двух других формах. Вспоминая прежде всего, что а- Ь = Ьаь, замечая, что | dr j = ds, где ds — элемент длины кривой, и обозначая через а, — касательную составляющую вектора а, мы будем иметь, что
a-rfr = agds и, следовательно, мы можем написать
^ a-dr = ^ aeds L L
Воспользовавшись же выражением a-cir в проекциях на осе координат
a.dt — CLyAx + uydy ajdz
мы будем иметь
^ a 'dr = \(axdx + a^dy + azdz) L L
Для вычисления этого последнего интеграла обычно выражают координаты точки кривой L функциями какого-либо параметра и сводят дело к вычиолетш простого интеграла. Например, вычислим интеграл
\(xdy — у dx) L
взятый по контуру круга
я2 + у* = Я2
Координаты точек этой окружности можно выразить функциями одного параметра в
X-R cos в, у = R sin 8
причем, когда 0 меняется от 0 до 2я. то точка описывает всю окружность. Мы имеем далее
dx = — й sin 0 с/0, dy = R cos 6 cto грллиинт. вго свойства
117
в, следовательно,
xdy — ydx — R cos 8 R cos в de + R sin 9 R sin 9 d0 = Ri db
Sn
^ (xdy — ydx) = ^ Ri do = IziRi
L r'l
Линейный интеграл вектора по замкнутой кривой называется еще циркуляцией вектора по этой кривой.
Если взять за вектор а вектор силы F, действующей на материальную точку, а за L — траекторию точки, то
jF.dr
L
дает работу силы при перемещении точки из M9 в M1. так как F-dr = F[dt\ cos I (F, dr) |
означает элементарную работу силы на перемещении dr.
Вообще говоря, линейный интеграл вектора зависит от того пути L, который соединяет крайние точки M0 и M1. Иначе обстоит дело с потенциальными векторами.
Докажем следующую теорему: линейный интеграл нектара grad ср вдоль какой-либо кривой L1 соединяющей точки M0 (г0) и M1 (rj, равен разности значений функции. <р в точках M1 и М„.
В самом деле
^ grad <p.dr = ^ dip = ф (г,) — ф (r0) = ф (X1, уи г,) - ф (ж0, у0, г0) (21)
L L
Отсюда, как непосредственное следстние, вытекает, что если 9 — однозначная функция (дальше мы дадим пример многозначной функции), то значение линейного интеграла grad ф не занисит от пути интегрирования, а только от конечных точек пути. В частности, и н-теграл по замкнутой кринов будет равен нулю, ибо конечная в начальная точки пути здесь совпадают. Последнее свойство характерно для потенциального вектора, ибо справедлива и обратная теорема:
Если линейный интеграл вектора а вдоль всякой замкнутой кривой равен нулю, вектор а есть градиент некоторого скаляра ф.
Сначала докажем, что линейный интеграл вектора а, взятый по некоторому пути от неподвижной точки Ma (г0) до какой-нибудь точки M (г), не зависит от выбора пути. В самом деле, пусть LnL' — два пути, соединяющие M0 с М. Образуем замкнутый контур, состоящий из кривой L и кривой L', пробегаемой от точки M к точке M0; в силу условия имеем
Г г.
^ a.dr a-dr = О
І (Г.J J IL') 118
векторный анализ
Гл. Il
Но очевидно, что
Г. г
^ a.dr = — [ а-dr
f (L') J (I/)
г гв
ибо при перемене направления на кривой L' все элементы dr меняют свой знак. Поэтому
г г
\ а-сйг = ? a-dr (22)
І (L) J <L'>
Тш Te
Раз интеграл не зависит от кривой, его значение есть функция г (ведь rg мы считаем постоянным); обозначим ее через <р (г);
г
^ a-dr = <р (г) (23)
п
Возьмем соседнюю с M точку M' (г + Дг) в пусть ДS — длина MM', S — единичный вектор, идущий в направлении MM'. Рассмотрим путь MisMM', проходящий черев точку М. Тогда мы будем иметь
ср (M') — ер (M) = ^ a-dr — ^ a-dr= ^ a-dr
MxMM' M0M Afitf'
Но если путь MM' взять прямолинейным, переменную точку этого пути обозначить через Р, а расстояние этой точки до точки M обозначить через и, то мы будем иметь на MM'
dx — Sdu, a-dr — as (P) du
Следовательно,
¦is
^ a-dr = Ї a, (Ja) du мм- о
По теореме о среднем это выражение будет равно
a-dr = a, (P') As
MW
где P' — некоторая точка отрезка MM'. Итак,
q> (M') — ф (M) _ ,р,, Дї SlJ
Переходя к пределу при As —> 0, получим
ректор а, как всегда, предполагаем непрерывной функцией точки). Полученное условие, по самому определению grad ф, выражает, что
a = grad ф
что и требовалось доказать. ГРАДИЕНТ, ваго СВОЙСТВА
119
Более просто то же самое можно получить, беря элементарное приращение обеих частей равенства (23) на бесконечно малом перемещении dr:
a.rfr = акр
Отсюда, согласно (12), следует, что
а = grad ф
4. Примером потенциального вектора является консервативная сила, которая характеризуется тем, что работа, совершаемая ею при переходе материальной частицы, иа которую она действует, из одного положении в другое, зависит только от начальной и конечной точек пути перехода. Поэтому консервативная сила F является градиентом некоторой функции U;
F = grad U
U называется силовой функцией, — D — потенциальной энергией, или потенциалом. Совершенная на некотором пути, соединяющем точки Ma (rfl) в M1 (T1), работа А определяется формулой
А = ^ F.rfr = U (г,) - U (г0) (24)
L
