Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
Изменение ф в данном месте характеризуется частной или местной или локальной производной ф по ft
И" д.™ Sl <")
при вычислении которой радиус-вектор точки M рассматривается как постоянный.
Чтобы охарактеризовать изменение ф для данной частицы за промежуток времени At, мы должны за приращение ф взять разность между значением функции ф в момент < + Дг в том положении частицы M', в котором она находится в этот момент, и значением функции в момент і в начальном положении ее М. Предел отношения этого приращения к At при At —- 0 называется полной или индивидуальной или субстанциональной производной ф по t и обозначается
^ = hmf + At)— <t(M,t) ^
Чтобы установить связь между частной и полной производными, проще всего заметить, что когда мы .составляем полную производную от функции ф (х, у, z, t), то мы должны считать х, у, z функциями от ?, ибо частица, имеющая координаты х, у, z, перемещается со скоростью v, причем
dx dy di ,.,,
v*=Tt> vV = Tt' Vl = dt <14>
Ho рассматривая Ф (х, у, Z1 t) как сложную функцию от t, мы получим
dt дГ + Ш dt +ду dt дГ1П~ W + ayVy + aT Vl
или
fr = Ш + v-srad tP <15>
Это же соотношение можно получить и более непосредственно. Прежде всего
dcp = lim <p(M',t + AQ-<p(M',t) Hm 9(М', t) — ф{М, і) lim MM'
At-Mi Дг Д<-Ч) ММ' Д(~о A2
переходя к пределу, получим, в силу того, что при At 0 точка M' стремится к M и что
M^ мм' * ' И™ Д'
следующую формулу:
dI=Tt + Wv-W + ^grad9) = f? + Vgrad9 ПРОИЗВОДНАЯ ВИКТОРА ПО НАПРАВЛЕНИЮ
129
Если мы рассматриваем векторную функцию поля а (г, t), зависящую от времени t, то определение частной и полной производной будет совершенно аналогично таковым для скаляра
— = Iim 3 ' + At) — а (М, t)
ДІ-Н)
« = Iim ¦(«,' + *'> —(«.о (16)
dt di-яі Л' 4 '
da = 1іш a (M', I + At) — а {М, t)
dt Л(-м) ^
Связь между частной и полной производной по і вектора а устанавливается так же, как для скаляра. Рассматривая а (%, у, з, t) как сложную функцию от t через посредство X, у, 2, легко найдем
da_да да dx !>ady да dz_ _da ^ дп ^ ?а За
Л et + dj/dt + дх dt — dt + Vxdi + V*ду + Vzds
Отсюда
dt — St
+ (18)
То же самое получается и непосредственно, ибо прежде всего из формулы (17) следует, что
da .. a(M',t + Ді) — л(М', t) . .. а (М\ О — а (М, t),. MM' т. = llm —1-^ '-'- + Iim —І--'lim —Г—
и, замечая, что
получим
или
Jim *{M\t)-a{M,l) ^dn
da_да , да
Tt~Tt~*~ vTs
da да . , Ti=Tt +(V-V) а
Члены V-V9 в формуле (15) и (v« V) а в формуле (18) называются конвективными членами, так как они появляются только при движении сплошной среды я связаны с переносом (конвекцией) частиц.
В качестве примера рассмотрим ускорение частицы жидкости. Чтобы его вычислить, мы должны сравнить скорости одной н той же ч.астицы в два соседние момента времени t a t -4- Ді, поэтому вектор ускорения частицы жидкости выражается полной производной вектора скорости V, для которой по формуле (18) имеем
S = S+ (-V) V (19)
В составляющих будем иметь
dv* — <Ьі 4- V д"х 4- » _l „ dv=c „ „ „ (20\
Ж = Ж + Ж + "у +ж и т-д- ^u'
9 а. в. кочна 130
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Гл. Il
§ 14. Поток вектора- через поверхность. Расхождение вектора. Его аналитическое выражение. Теорема Гаусса. Источники
1. Рассмотрим поле какого-нибудь вектора а (г) = а (ж, у, і)
т. е. предположим, что для каждой- точки пространства или некоторой его части задано значение этого вектора. Рассматривая значения этого вектора в окрестности некоторой фиксированной точки М, мы видели в предыдущем параграфе, что изменения этого вектора вблизи точки M характеризуются с точностью до бесконечно малых второго порядка величинами производных вектора по всевозможным направлениям з:
да
ds
так как, зная эти производные и рассматривая вблизи точки M соседнюю точку M', Лежащую на луче, имеющем направление единичного вектора s, мы будем иметь приближенное равенство
а (АГ) = а (ДО +%ММ'
Мы видели, кроме того, что вся совокупность бесчисленного количества производных da / ds по всевозможным направлениям s определяется простой формулой (2), если известны производные по трем взаимно перпендикулярным направлениям
За За За дх ' ду' dz
Теперь мы приступим к изучению еще некоторых величин, до некоторой степени характеризующих изменения векторной функции а (г) в окрестности рассматриваемой точки.
Этими величинами, играющими необычайно важную роль в векторном анализе, являются, с одной стороны, скалярная величина, называемая расхождением вектора а, и, с другой стороны, — векторная величина, называемая вихрем вектора а.
Отметим сразу же, что значение этих величин для векторного анализа и для многочисленных приложений последнего тесно связано с тем обстоятельством, что эти величины естественно появляются при рассмотрении поверхностных и криволинейных интегралов от вектора а. На многочисленных примерах мы увидим, что при изучении задач механики и физики является совершенно необходимым рассмотрение объемных, поверхностных и криволинейных интегралов. Значение последних было уже до некоторой степени выяснено в § 12, где мы видели, например, что криволинейный интеграл от вектора силы дает значение работы, совершаемой этой силой, и что обращение в нуль криволинейного интеграла от вектора а по любому замкнутому пути указывает на то, что вектор а есть вектор потенциальный, т. е. является градиентом некоторой скаляр* ной функции ф. Откладывая дальнейшее изучение свойств криволиней- ПОТОК ВЕКТОРА ЧеРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ
