Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
57.80. Пусть характеристические многочлены квадратных матриц А и В имеют простые корни Ax,..., Аш и /X1,..., /хп соответственно. Найти собственные значения кронекерова произведения А® В матриц А и В.
57.81. Пусть А и х - собственное значение и соответствующий собственный вектор матрицы Л ЕМгаш,а/іИї/- собственное значение и соответствующий собственный вектор матрицы В Є IRnxn. Доказать, что кронекерово произведение х ® у является:
а) собственным вектором матрицы А ® В;
б) собственным вектором матрицы А ® In + I711 ® В. Какому собственному значению отвечает этот собственный вектор?
57.82. Пусть А Є Rnxn - заданная матрица и Ax,..., An - ее собственные значения. Найти собственные значения оператора, действующего в пространстве IRnxn по правилу:
а) TX = AXАт;
б) TX = АХА~г (матрица А невырождена);
в) TX = [X1 A]1 где [X1 А] - коммутатор матриц X и А.
57.83. Пусть Ai,..., An и /хь..., /хп - собственные значения заданных матриц А и В соответственно. Найти собственные значения оператора, действующего в пространстве Rnxn по правилу:
a) TX = AXB1 б) TX = AX + XB.
57.84. 1. Доказать, что если хотя бы одна из двух матриц
24
Глава XV.Структура линейного оператора
А, В невырождена, то матрицы AB и BA подобны. Как в этом случае связаны собственные векторы матриц AB и BAl
2. Верно ли утверждение предыдущего пункта, если обе матрицы А и В вырождены?
57.85. Доказать, что если А и В - квадратные матрицы одинакового порядка, то характеристические многочлены матриц AB и BA совпадают.
57.86. Пусть А и В - произвольные матрицы размеров га х п и n X m соответственно. Доказать, что для характеристических многочленов матриц AB и BA выполнено соотношение:
57.87. Доказать, что собственные значения блочных матриц:
а)
' А В ' ; б) ' А В ' ; в) ' А В '
В А -В А В -А
являются соответственно: а) собственными значениями матриц А±В] б) собственными значениями матриц А ± іВ\ в) квадратными корнями из собственных значений матриц Л2+і?2±г[Л, В].
57.88. Пусть А - квадратная матрица n-го порядка и число А является ее собственным значением геометрической кратности не меньше к. Доказать, что А является собственным значением любой главной подматрицы матрицы А порядка m > п — к.
57.89. Доказать, что любая квадратная матрица А является суммой двух невырожденных матриц.
57.90. Доказать, что для любой вырожденной матрицы А = (ciij) порядка п и любого сколь угодно малого числа є > О найдется матрица В = (bij) того же порядка, которая:
а) невырождена;
б) для ВСЄХ ЄЄ ЭЛемеНТОВ ВЫПОЛНеНО Неравенство \bij — < є.
57.91. Доказать, что характеристический многочлен матрицы
(-\)П\АВ - XIm\ = (-\Г\ВА - XIn\.
a.
n—l
о,
•n-2
Ol
О О
(Z0
0 О
-1 О
0
-1
о
-1 о
равен /(Л) = (-А)" + а„_і(-Л)п_1 + ... + аі(-А) + о0. Матрица С/(\) называется сопровождающей матрицей многочлена /(А) (или матрицей Фробениуса).
§58. Операторы и матрицы простой структуры
25
57.92. Пользуясь предыдущей задачей, показать, что всякий многочлен степени п со старшим коэффициентом, равным (-1)п, может быть характеристическим многочленом некоторой квадратной матрицы порядка п.
57.93. Вычислить:
1)2"+1]? COS-^-; 2) ? cos-^L; *=1 п + 1 ІҐі n + 1
оч k2 27Г . . 27Г _
3) > є , где є = cos--h г sin —, n = 2m + 1;
^To n n
4) (e* — где ? = cos--h г sin —, n = 2m + 1.
0<j<fc<n-l n n
§58. Операторы и матрицы простой структуры
Линейный оператор А Є ?(V, V) называется оператором простой структуры, если в пространстве V существует базис из собственных векторов оператора Л.
Квадратная матрица А Є PnXn называется матрицей простой структуры, если она имеет п линейно независимых собственных векторов.
Очевидно, что линейный оператор является оператором простой структуры тогда и только тогда, когда его матрица в любом базисе имеет простую структуру.
Теорема 58.1. Линейный оператор А Є C(V,V) имеет простую структуру тогда и только тогда, когда в пространстве V существует базис, в котором он имеет диагональную матрицу, или, в матричной формулировке, квадратная матрица является матрицей простой структуры тогда и только тогда, когда она подобна диагональной.
Если матрицы А и В подобны и Т~1АТ = В, то говорят, что матрица А преобразованием подобия приводится к матрице В, при этом матрица T называется матрицей преобразования подобия.
Из теоремы 58.1 следует, что матрица простой структуры приводится преобразованием подобия к диагональной матрице:
T-1AT = A, A =
При этом, как нетрудно проверить, столбцами матрицы T преобразования подобия являются линейно независимые собственные векторы, отвечающие собственным значениям Лі, А2,..., An соответственно.
Из теоремы 58.1 следует, что в n-мерном пространстве линейный оператор, имеющий п различных собственных значений, является оператором простой структуры.
В соответствии с теоремой 58.1 оператор (матрицу) простой структуры называют также диагонализуемым оператором (матрицей).
U
A2
An
26
Глава XV.Структура линейного оператора
Теорема 58.2. Линейный оператор А Є C(V, V) имеет простую структуру тогда и только тогда, когда все его собственные подпространства в прямой сумме дают все пространство V.
