Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Пример 59.5. Жорданова клетка
О 1 О
Л(0) =
является нильпотентной матрицей индекса к.
О 0 1
ООО ООО
О О О О
О 1 О О
36
Глава XV.Структура линейного оператора
Теорема 59.10. Если А Є C(V1V) - нильпотентпный оператор индекса q и хо Є V - вектор, для которого A4-1Xo ф 0, то векторы
Xo-) Ахо, • • •, Ач~ 1Xq
линейно независимы.
Следствие . Индекс нильпотентности не превосходит размерности пространства.
Теорема 59.11. В комплексном пространстве линейный оператор нильпотентен тогда и только тогда, когда все его собственные значения равны нулю.
Если V = L\@L2@.. .@Lk - прямая сумма подпространств Li1L2,... ^k, инвариантных относительно линейного оператора А Є C(V1V)1 то оператор А называется прямой суммой индуцированных операторов Д|1а,..., A\Lk. Эту же ситуацию описывают словами: оператор А приводится подпространствами Li1 Z/2, • •., Lk.
Теорема 59.12. Произвольный линейный оператор А Є C(V1V) является прямой суммой нильпотентного и обратимого операторов, причем это разложение единственно.
Указанное в теореме разложение может быть получено следующим образом. Если А Є C(V1 V)1 Nk = ker Ah, Tk = іп\Ак1 то ядра Nk строго вложены друг в друга до некоторого момента д, начиная с которого все Nk совпадают: N1 С N2 С... С N4 = TV4+I = ....
Подпространства N4 и T4 дают требуемое разложение: V = Nq@Tqi
Nqi Tq инвариантны относительно оператора A1 оператор AI Nq нильпотентен; оператор AI Тя обратим. Из теоремы 59.12 следует, что в комплексном пространстве V:
1) оператор А на подпространстве Nq имеет только нулевые собственные значения, а на подпространстве T4 его собственные значения отличны от нуля;
2) для оператора А с характеристическим многочленом /(А) = (—Л)Ш1 • (A2-A)"12... (Ар- А)"*':
а) характеристические многочлены /і(Л) и /2(A) операторов A\Nq и AI Tq имеют вид
Z1(A) = (-А)"*\ ' /а(А) = (А2-АГ»... (Ap-А)™';
б) при этом
dim Nq = mi, dim Tq = 7712 + ... + тр.
Пример 59.6. Найти все инвариантные подпространства оператора, заданного в естественном базисе пространства IR3 матрицей
\ -1 -2 2 1 -2 1-1 1
Решение. Найдем характеристический многочлен оператора. Имеем:
/(А) =
4-А -1 -2 2 1-А -2 1 -1 1-А
{прибавим к 1-му 1 _ столбцу 2-й J —
§59. Инвариантные подпространства
37
2-А -1 -2
— О 1 -Л -2
2-Л -1 1 - л
2-Л -1 -2
— О 1 -л -2
О о 3-Л
-{
вычтем из 3 строки 1-ю
= (1-А)(2-А)(3-А).
Все собственные значения оператора различны: Ai=I, Аг = 2, Аз = 3. Поэтому (следствие из теоремы 58.1) оператор имеет простую структуру и (см. задачу 59.20) любое нетривиальное инвариантное подпространство этого оператора является линейной оболочкой некоторой системы его собственных векторов. Решив системы уравнений (А — Хіі)х = 0, і = 1,2,3, найдем собственные векторы:
для Ai = 1 собственные векторы имеют вид aei, где а Є ir, а ф 0,
ei = (1,1, if,
для Аг = 2 - вид аег, где а Є ir, а ф 0, ег = (1,0,1)т,
для Аз = 3 - вид аез, где а Є ir, а ф 0, ез = (1,1,0)т, и других собственных векторов у оператора нет.
Таким образом, подпространства {#}, ir3, ?(еі), ?(ег), ?(ез), ?(еі,Є2), ?(еі,ез), ?(б2,ез) - это все инвариантные подпространства данного оператора. ¦
Пример 59.7. Найти все инвариантные подпространства оператора, заданного в естественном базисе пространства ir3 матрицей
2 -5 -З -1 -2 -З
3 15 12
Решение. Найдем характеристический многочлен оператора. Имеем:
/(А) =
2-А -5 -З -1 -2-А -З З 15 12-А
вычтем из строки 2-ю
З-А -З+ А 0 -1 -2-А -З З 15 12-А
ко 2-й строке прибавим 1-ю, из 3-й строки вычтем 1-ю умноженную на З
(3-Л)
1 -1 0
-1 -2-Л -З З 15 12-Л
(3-Л)
-1 о -3-Л -з 18 12-А
(3-Л)
-З-А 18
-З 12-А
(3-А)2(6-Л).
З и А2 = 6 алгебраических
Оператор имеет собственные значения Ai кратностей mi = 2 и тг = 1 соответственно.
Решив системы уравнений (А — Хіі)х = 0, і = 1,2, найдем максимальные линейно независимые системы собственных векторов: для Ai = 3 -это ei = (-7,5,-б)т, ег = (6,-3,3)т, а для Л2 = 6 - это ез = (1,1,-3)т. Векторы еі, ег образуют базис собственного подпространства, отвечающего собственному значению Ai = 3, так что геометрическая кратность собственного значения Ai = 3 равна 2 и равна его алгебраической кратности шь
38
Глава XV. Структура линейного оператора
Это же относится и к собственному значению Л2 = 6. На основании теоремы 58.3 оператор имеет простую структуру (теорема применима к данному оператору, так как его характеристический многочлен /(А) имеет только вещественные корни), и следовательно (см. задачу 59.20), любое нетривиальное инвариантное подпространство оператора является линейной оболочкой некоторой системы его собственных векторов. Собственные векторы оператора имеют вид с = aei + ?e2, где ot,? Є Ш, a2 + ?2 ф 0, и аез, где a G 1, Ot ф 0, и других собственных векторов у оператора нет.
Таким образом, одномерными инвариантными подпространствами будут: подпространство С(е$) и любое одномерное подпространство собственного подпространства ?(еі, е2), отвечающего собственному значению Ai = 3. Двумерными инвариантными подпространствами будут: подпространство ?(еі, е2) и все подпространства вида ?(с, ез), где с Є ?(еі, е2), с ф 0. Последнее подпространство ?(с, ез) и подпространство ?(ез), т.е. подпространства ?(с,ез) для любого с Є ?(еі,ег), могут быть заданы и в виде линейной оболочки ?(а, ез), где а - любой вектор V, так как если a = aei + ?e2 + 7Є3, то
