Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
57.58. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А = хут порядка больше единицы, где X1 у - заданные вектор-столбцы одинакового размера.
57.59. Найти собственные значения и собственные векторы п X п-матрицы
1 1 ... 1 1 1 ... 1
1 1
57.60. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А = (dij) є irnxn, где = fa/nj, i,j = l,n, а /іі,..., ріп - заданные ненулевые числа.
57.61. Найти собственные значения и собственные векторы n X п-матриц:
а)
a Ь Ь . . Ь ' б) " 0 a a . . a
Ь a Ъ . . ъ ь 0 a . . a
Ъ Ь a . . ъ ъ 6 0 . . a
Ь Ь Ь . . a ь Ь b . . 0
где о и b - заданные вещественные числа.
57.62. Найти собственные значения матрицы
0 0
О
cl
О О
О
c2
О О
О
cn-i
ъ„.
a
где о, 6?, і — 1,ті — 1, — заданные вещественные числа.
20
Глава XV. Структура линейного оператора
57.63. Доказать, что стохастическая матрица имеет собственное значение единица. Найти какой-либо соответствующий этому собственному значению собственный вектор.
57.64. Доказать, что все собственные значения стохастической матрицы по модулю не превосходят единицы.
57.65. Найти собственные значения матрицы
0 ... 0
0 ... OL2 0
OLn
0 0
где aj, і = 1,п, - заданные вещественные числа. 57.66. Найти собственные значения матрицы
" 1 1 1 1 .. 1
1 ? Є2 Є3
1 Є4 е6
1 е3 Є6 е9 є3(п-1)
1 ?п-1 ?2(п-1) ?3(п-1)
2тг . . 2тг
где є = cos--h г sin —, n - нечетное число.
п п
57.67. Для матрицы P порядка п
0 1 0 ... 0 0 '
P =
0 0 1
0 0
ООО 1 0 0
0 1 0 0
найти:
а) характеристический многочлен;
б) собственные значения в поле комплексных чисел и соответствующие им собственные векторы.
57.68. Найти собственные значения циркулянта
U1 а2 а3 .
du а2 . •
¦ CLn
а2 аз . U1
§57. Собственные значения и собственные векторы 21
где oj, і = 1, п, - заданные вещественные числа.
57.69. Найти собственные значения следующих трехдиаго-нальных матриц п-го порядка:
а)
0-1 о ... О о
1 0 -1 ... о о
О 1 о ... о о
о O О ... О -1
О О О ... 1 о
; б)
о И Ъ a b O Ь a
О O О О О О
ООО ООО
a b Ь a
, а, Ъ Є
57.70. Пусть А - вещественная трехдиагональная матрица: Oi bi О ... О О bi a2 b2 ... О О О Ь2 а3 ... О О
A =
О О
Ьп-1
CLn
bfc^O, fc = l,n-l.
О о О O Доказать, что:
а) все корни характеристического многочлена матрицы А вещественны;
б) геометрическая кратность каждого собственного значения матрицы А равна единице.
57.71. Доказать, что утверждения предыдущей задачи остаются справедливыми и для вещественной трехдиагональной матрицы
Oi Ji О ... О О Ci а2 b2 ... О О О C2 а3 ... О О
An =
ООО ООО
"п-1
ип-1 Cin
если ЬіСі > 0, і = 1,п. Такая матрица называется матрицей Якоби.
57.72. Выяснить, может ли спектр:
" 1277 311 63 11 129 "
617 -300 47 89 61
матрицы 210 129 1 53 46
2 О 137 -691 41
51 49 120 283 -200
состоять из
22
Глава XV. Структура линейного оператора
чисел 100, 63, 15, 1, 0;
б) матрицы
" 1 -3 3 5 -3
15 -45 45 75 -45
9 -27 27 45 -27
7 -21 21 35 -21
12 -36 36 60 -36
состоять из чисел
27, 1, 0, 0, -20.
57.73. Найти собственные значения и собственные векторы следующих операторов, действующих в пространстве Mn многочленов степени не выше п:
&)Af(t) = tf'(t); 6)Af(t) = tnf(^y,
в) Af (t) = f(t + а), где а Є R - заданное ненулевое число;
г) Af (t) = jj* /(г) dr; д) Af (t) = і jT Tf(r) dT; f(t + h)-f(t)
где h Є E - заданное ненулевое
е) .4/(*) =
число;
ж) Af (t) = вое число;
h
f(a + t)-f(a-t) 2t
где а Є
заданное ненуле-
з) Af(t) = f{a)+f^(t-a)+^(t-a)4.. .+^М(*-а)*,
где аЕІ, Л Є N, k <n - заданные числа.
57.74. Доказать, что ранг оператора проектирования равен его следу.
57.75. Пусть TZ - оператор отражения пространства V = Li © L2 относительно L1 параллельно L2. Доказать, что след оператора TZ вычисляется по формуле
trTZ = 2(UmL1 -dimV.
57.76. Доказать, что характеристический многочлен транспонированной матрицы Ат совпадает с характеристическим многочленом матрицы А.
57.77. Оператор T действует в пространстве IRnxn по правилу: ТА = Ат. Доказать, что спектр оператора T состоит из чисел 1 и —1. Указать собственные векторы, отвечающие этим собственным значениям.
57.78. Оператор Q действует в пространстве Rnxn по правилу: QX = АХ, где А Є Rnxn - заданная матрица.
§57. Собственные значения и собственные векторы
23
а) Доказать, что число А Є R является собственным значением оператора Q тогда и только тогда, когда оно принадлежит спектру матрицы А.
б) Пусть векторы ах,..., ak образуют базис собственного подпространства матрицы A1 отвечающего собственному значению А. Найти все собственные векторы оператора Q1 отвечающие этому же собственному значению А.
57.79. Оператор Q действует в пространстве Rnxn по правилу: QX = XB1 где В Є IRnxn - заданная матрица.
а) Доказать, что число А Є R является собственным значением оператора Q тогда и только тогда, когда оно принадлежит спектру матрицы В.
б) Указать, какие матрицы являются собственными векторами оператора Q.
