Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
58.69. Пусть Ai,..., An - все различные корни многочлена /(А). Найти собственные векторы сопровождающей матрицы этого многочлена.
58.70. Пусть матрица А имеет простую структуру. Доказать, что для любого числа а ранг матрицы А — al равен наивысшему порядку отличных от нуля главных миноров этой матрицы.
58.71. Доказать, что если А - оператор простой структуры, а /(А) - его характеристический многочлен, то f(A) = О, т.е. оператор простой структуры ацнулируется своим характеристическим многочленом.
58.72. Найти tr Б, где В = 7+Л+Л2 + .. .+Л28, А = .58.73. Найти Л100, где Л = 58.74. Найти ел, где Л =
О 2 -3 5
4 -2 6 -3
58.75. Найти Л100, если / + Л + Л2 + Л3 -f...=
58.76. Найти
-4 -2
Hm
ігЛ*+1 trAk
если: а) Л =
-1 О О
О -3 1
;б) A =
-8 О О
О
-3
1
58.77. При каких вещественных значениях параметра а ма-
5Cm. задачу 57.68.
34
Глава XV. Структура линейного оператора
трица
' 1 -1 1 "
А = -1 1 -1
a -1 1
имеет простую структуру: а) над полем ir; б) над полем с; в) над полем q ?
58.78. Доказать, что для любого п Є N и для любой комплексной матрицы А простой структуры найдется матрица В такая, что Bn = А.
58.79. Доказать, что если матрицы А Є Rmxm и В Є Rnxn диагонализуемы, то диагонализуемы и следующие матрицы: А ® В, А ® In + I7n ® В.
58.80. Доказать, что если матрицы А Є irmxm и В Є Rnxn имеют простую структуру, то операторы G и T1 действующие в пространстве матриц Rmxn по правилам
QX = AXB1
TX = AX + XB1 также имеют простую структуру.
§59. Инвариантные подпространства. Прямая сумма операторов
Пусть V - линейное пространство над полем P и А Є C(V1V). Линейное подпространство L пространства V называется инвариантным подпространством относительно оператора A1 если для любого вектора х из L его образ Ax также лежит в L.
Пример 59.1. Тривиальные подпространства {в} и V инвариантны относительно любого оператора А Є C(V1V).
Пример 59.2. Для любого линейного оператора А инвариантными подпространствами будут кегЛ и im Л, так как если Ax = O1 то A(Ax) = АО = 0, и если у = Ax1 то Ay = A(Ax) = Ах\, где х\ = Ах.
Пример 59.3. Для оператора дифференцирования (§52) в пространстве многочленов Mn инвариантными подпространствами являются все подпространства Mo1 М\,..., Mn-I.
Теорема 59.1. Пусть А Є C(V1V) и L - инвариантное подпространство относительно А. Тогда существует базис пространства V1 в котором матрица оператора А имеет квазитреугольную форму.
Теорема 59.2. Если пространство V является прямой суммой подпространств Li1... ,L^, инвариантных относительно оператора А Є C(V1 V), то в пространстве V существует базис, в котором матрица оператора А имеет квазидиагональную форму.
Пусть L - подпространство, инвариантное относительно оператора А Є C(V1V). Отображение A\L : L -> L1 определенное равенством
§59. Инвариантные подпространства
35
(A\L)x = Ax, Vz є L, называется индуцированным оператором, порожденным оператором А или сужением (ограничением) оператора А на подпространство L. В силу линейности оператора А индуцированный оператор также будет линейным. Он совпадает с оператором А на подпространстве L и не определен вне его. Итак, A\L Є C(L1L).
Теорема 59.3. Характеристический многочлен индуцированного оператора является делителем характеристического многочлена порождающего оператора.
Теорема 59.4. Если V = Li ф... ф Lk - прямая сумма подпространств Li1... ,Lk, инвариантных относительно оператора А Є C(V, V), то характеристический многочлен /(А) оператора А равен произведению характеристических многочленов /і(Л),..., Д(А) индуцированных операторов A\Li,...,A\Lk:
/(А) = /і(А)...Д(А).
Теорема 59.5. Произвольный линейный оператор, действующий в комплексном пространстве, на любом своем инвариантном подпространстве имеет хотя бы один собственный вектор.
Теорема 59.6. В n-мерном комплексном пространстве V для любого линейного оператора А Є C(V, V) существует система п вложенных друг в друга инвариантных подпространств Li,... ,Ln всех размерностей от 1 до п, т.е. таких, что
Li С L2 С ... С Ln = V,
где dimZ/A: = к, к = \,п.
Теорема 59.7. Для любого линейного оператора А, действующего в комплексном пространстве, существует базис, в котором матрица линейного оператора имеет треугольную форму, или, в матричной формулировке, любая квадратная комплексная матрица подобна матрице, имеющей треугольную форму.
Теорема 59.8. У всякого линейного оператора, действующего в комплексном пространстве, существует одномерное инвариантное подпространство.
Теорема 59.9. У всякого линейного оператора, действующего в вещественном пространстве, существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.
Линейный оператор А Є C(V, V) называется нильпотентным, если существует число g Є N такое, что А4 = О. Наименьшее число а, обладающее этим свойством, называется индексом нильпотентности (высотой) оператора А. Очевидно, что индекс нильпотентности ненулевого оператора q > 2. Аналогично определяется нильпотентная матрица А Є РпХп и ее индекс нильпотентности.
Пример 59.4. В пространстве многочленов Mn оператор дифференцирования (§52) является нильпотентным оператором индекса п + 1.
