Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 13

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 87 >> Следующая

пі \ пі , о \ Г ?(ез), если с = aei + ?e2 = 0, ^,e3) = ?(ae1+?e2,e3) = i[ еслисфв
Итак, полный список инвариантных подпространств таков:
{0}, V, любое одномерное подпространство пространства С(е\, е2) и подпространства ?(а,ез), где a - любой вектор из V. ¦
Пример 59.8. Найти два двумерных инвариантных подпространства относительно линейного оператора Л, заданного в естественном базисе
пространства J
матрицей
A =
6 -1 1 5-5 5 4-9 9
Решение. Известно (см. задачу 59.25), что если Л - собственное значение оператора Л, то любое подпространство, содержащее іш(Л — AJ), инвариантно относительно этого оператора. Найдем собственные значения:
/(А) = det(A - XI) =
6-А 5 4
-1 1
-5-А 5 -9 9-А
6-А 5 4
1
5
9-А

5-А 0
-5 +А
1
5
9-А
Отсюда Ai = 0, X2 = 5 и, очевидно, A3 = tr А — Ai — А2 = 5. Таким образом, оператор А имеет собственные значения Ai = 0 и А2 =5 алгебраических кратностей 1 и 2 соответственно.
Найдем те двумерные инвариантные подпространства, которые содержат іш(Л — AiJ) = im Л. Так как rg А = 2 и Ai = 0, то все они совпадают с подпространством Li = im Л, поэтому Li может быть найдено как линейная оболочка столбцов матрицы А (§54), и (см. пример 45.2 в §45) может быть описано уравнением
Li : Xi - 2х2 +жз = 0. (59.1)
§59. Инвариантные подпространства
39
Аналогично, все двумерные инвариантные подпространства, которые содержат — X2X) = im(A — 5J), совпадают с im (Л — 5J), которое опи-
сывается уравнением
L2: Xi - х2 + жз = 0. (59.2)
Итак, Li и L2 - два двумерных подпространства, инвариантных относительно А.
Отметим, что алгоритм, использованный в предыдущих примерах 59.6 и'59.7, позволяет построить только одно двумерное инвариантное подпространство.
Действительно, собственному значению Ai = 0 соответствуют собственные векторы aei, где а Є К, а ф 0, е\ = (0,1,1)т, а собственному значению
А2 = 5 - собственные векторы аег, где а Є IR, а ф 0, е2 = (1,0, — 1)т. Тем самым, получим двумерное инвариантное инвариантное подпространство C(ei,e2), которое, очевидно, совпадает с подпространством L2.
Другой алгоритм решения этой задачи использован в примере 61.3. ¦
ЗАДАЧИ
59.1. Доказать, что сумма и пересечение любого числа подпространств, инвариантных относительно оператора A1 также инвариантны относительно А.
59.2. Доказать, что следующие подпространства инвариантны относительно оператора А:
а) ядро и образ оператора А]
б) собственные подпространства оператора А]
в) линейная оболочка любой системы собственных векторов оператора А',
г) всякое подпространство, содержащее образ оператора А]
д) образ и полный прообраз всякого подпространства L, инвариантного относительно А.
59.3. Доказать, что операторы А и А — OtX1 где a - любое число из основного поля, имеют одни и те же инвариантные подпространства.
59.4. Доказать, что если оператор А невырожден, то Л и А'1 имеют одни и те же инвариантные подпространства.
59.5. Показать, что всякое подпространство, инвариантное относительно оператора A1 инвариантно и относительно любого многочлена от этого оператора. Верно ли обратное утверждение?
59.6. Доказать, то ядро и образ любого многочлена f(A) от оператора А инвариантны относительно А.
59.7. Пространство V размерности п разложено в прямую сумму подпространства L1 размерности к (к > 0) и подпро-
40
Глава XV. Структура линейного оператора
АР =
B =
странства L2 размерности n — k: V = Lx © L2. Пусть базис Єі,...,ел пространства V выбран так, что L1 = ?(еь..., е*.), L2 = ?(efc+1,..., еп). Матрицу оператора А в базисе еь ..., еп представим в блочном виде
An A12 A2i A22
где An и A22 - квадратные матрицы порядков к и п — к соответственно. Доказать, что:
а) A2I = О тогда и только тогда, когда Li инвариантно относительно оператора A1
б) A2I = О и Аї2 = О тогда и только тогда, когда оба подпространства Li и L2 инвариантны относительно оператора А.
59.8. Показать, что всякая комплексная квадратная матрица А порядка п подобна матрице В вида
Ьц ВХ2 О B22
где B22 - матрица порядка п — 1. Указать способ построения матрицы преобразования подобия в этом случае.
59.9. Линейный оператор A1 действующий в n-мерном пространстве, имеет п различных собственных значений. Найти все инвариантные относительно А подпространства и определить их количество.
59.10. Пусть А - оператор простой структуры, действующий в n-мерном пространстве V. Найти все подпространства V1 инвариантные относительно оператора А.
59.11. Найти все подпространства, инвариантные относительно:
а) скалярного оператора;
б) оператора проектирования V на подпространство L1 параллельно L2;
в) оператора отражения TZ относительно L2 параллельно L1;
г) оператора поворота плоскости V2 вокруг начала координат на угол а;
д) оператора A1 действующего в геометрическом пространстве V3 по правилу: Лх = [х, а];
е) оператора транспонирования в пространстве квадратных матриц irnxn;
ж) оператора дифференцирования V1 действующего в пространстве многочленов Mn;
§59. Инвариантные подпространства
41
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed