Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
16
Глава XV. Структура линейного оператора
трицы совпадают с ее диагональными элементами. Верно ли обратное: если собственные значения квадратной матрицы совпадают с ее диагональными элементами, то эта матрица является треугольной?
57.24. Показать, что характеристический многочлен квазитреугольной (квазидиагональной) матрицы равен произведению характеристических многочленов диагональных клеток.
57.25. Найти характеристический многочлен, собственные значения и собственные векторы:
а) оператора поворота плоскости V2 геометрических векторов на угол ір Є [0,27г);
б) оператора поворота пространства V3 геометрических векторов на угол <р Є [0,2тг) вокруг заданного ненулевого вектора а;
в) оператора .4, действующего в пространстве V3 геометрических векторов по правилу Лх = [х, а], где а - заданный ненулевой вектор;
г) оператора проектирования пространства V = L1 © L2 на L1 параллельно L2;
д) оператора отражения пространства V = L1 © L2 относительно L1 параллельно L2;
е) оператора дифференцирования в пространстве вещественных многочленов Mn;
ж) оператора дифференцирования, действующего в пространстве, натянутом на функции f\(t) = cos?, f2(t) = sin і.
57.26. Известны n — 1 (с учетом их алгебраических кратностей) собственных значений A1,'..., Xn-I матрицы А порядка п. Как найти еще одно собственное значение An?
57.27. Показать, что если собственными значениями (с учетом их кратностей) квадратной матрицы А n-го порядка являются числа A1,..., An, то для любого к Є N выполнено соотношение
tr Ak = J2\4
1=1
(сумма в правой части называется к-м моментом собственных значений матрицы А).
57.28. Пусть А и В - квадратные матрицы n-го порядка. Доказать, что для того, чтобы А и В имели одни и те же (с учетом их алгебраических кратностей) собственные значения,
§57. Собственные значения и собственные векторы
17
необходимо и достаточно, чтобы trAk = tvBk для всех k = 1,п.
57.29. Найти определитель матрицы А третьего порядка, если известно, что trA = 2, tr А2 = 6, tr А3 = 8.
57.30. Доказать, что в действительном линейном пространстве нечетной размерности спектр всякого оператора непуст.
Вычислить собственные значения и собственные векторы следующих матриц.
3 + г -1 2г 1 - г
57.31.
3 о О 3
57.32.
57.33.
2 + Зг 3-г
3 + г 2 - Зг"
" 4 - 1 -2 "
57.34. 2 1 -2
1 - 1 1
" 2 -5 -3
57.36. -1 -2 -3
3 15 12
" 2 -1 2
57.38. 4 -3 2
-1 0 . -2
" 0 1 0 0 "
57.40. 3 0 0 2 2 0 0 3
0 0 1 0 _
" 1 2 0
57.42. -1 0 -2 0 0 2
1 2 0
57.35.
57.37.
57.39.
57.41.
1 4 1
4 2 -4
-4 2 -2 1 4 -2
7 -12 6 10 -19 10 12 -24 13
10 10 110 1 10 10 0 111
3 -3 0 3
57.43.
3 0 1 0
-10 0
3 0 0
0 3 1
1 0 3
Найти собственные значения следующих матриц: а) в поле действительных чисел; б) в поле комплексных чисел.
110
57.44.
57.46.
57.45.
0 1 1
1 0 1
0 2
1 0 0 3
1 0 4
0-10
0 2 0 3
57.47.
1 -2 -2 0 "
0 -1 -1 2
1 0 0 -2
0 1 3 0
18
Глава. XV.Структура линейного оператора
57.48. Найти собственные значения матрицы
"3 1 О 2І ] 1 3 -2i О О 2i 1 1 • —2i О 1 1
57.49. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, матрица которого в некотором базисе Єї,..., е„ линейного пространства является жордановой клеткой
57.50. Пусть х, у - собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям. Доказать, что вектор ax + ?y будет собственным вектором этого оператора тогда и только тогда, когда ровно одно из чисел а или ? отлично от нуля.
57.51. Доказать, что все отличные от нуля векторы пространства являются собственными векторами оператора А тогда и только тогда, когда А - скалярный оператор.
57.52. Пусть Ai,..., An - собственные значения линейного оператора A1 действующего в комплексном пространстве Сп. Найти собственные значения оператора А как оператора, действующего в вещественном пространстве Cj^.
57.53. Линейный оператор А переводит векторы естественного базиса3 пространства ir4 в векторы (—1,0,1, —1), (3,1, —2,3), (—3, —1,2, —3), (—2, —1,1, —2) соответственно. Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
57.54. Линейный оператор А переводит векторы (1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,1) пространства ir4 соответственно в векторы (0,2,1,0), (1,2,1,-1), (-1,2,1,1), (-1,4,2,1). Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
57.55. В пространстве ir2*2 дан линейный оператор AX —
Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
57.56. Оператор С в пространстве V квадратных матриц второго порядка определен равенством CX = [A1X]1 где А - заданная матрица. Найти собственные значения и собственные векторы оператора C1 если:
1 1 0 1
X + X
3Cm. §44, пример 44.1.
§57. Собственные значения и собственные векторы 19
a) A = в) A =
О 1 О О
0 -1
1 о
V =
3)2x2.
6) A =
V
р2х2.
V =
-2x2
57.57. В пространстве M3 многочленов степени не выше трех линейный оператор Л переводит многочлены 1, ?, ?2, t3 соответственно в многочлены 1 — t + 6t2 — 6?3, 1 — t + t2 — ?3, 1 - t — At2 + 4?3, 1 — t — t2 + t3. Найти собственные значения и собственные векторы оператора Л.
