Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 15

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 87 >> Следующая

1 2 -3
0 2 -1 1
1 0 2 -1
б) A =
г) A =
е) A =
-3 10 -10 '
-7 4 -4 )
-2 -3 3
0 0 1 0 "
0 0 0 1
3 4 0 0 )
-1 -1 0 0 _
" 0 2 -2 0 -4"
-2 0 4 -5 3
2 -4 0 1 1
0 5 -1 0 2
4 -3 -1 -2 0
59.33. Пусть линейный оператор А действует в простран-
44
Глава XV. Структура линейного оператора
стве V над полем P и имеет в некотором базисе матрицу
" G1 1 0 ... О " а2 0 1 ... О
ап_! 0 0 1
ап 0 0 О
Доказать, что если у многочлена xn — aixn~l — ... — an_ix — an нет корней из Р, то оператор Л не имеет нетривиальных инвариантных подпространств.
59.34. Пусть А = a+i? (? ф 0) - собственное значение вещественной матрицы Л порядка Ti1 z = х + іу Є Cn - собственный вектор матрицы А (ж, у - вещественные векторы). Доказать, что X и у образуют базис двумерного инвариантного подпространства пространства Rn матрицы А.
59.35. Найти двумерные инвариантные подпространства для линейного оператора, действующего в пространстве заданного в некотором его базисе матрицей:
-5
и
а) Л =
4 -6 1 0 0 1
б) Л =
-2 2 3 -3
-3 2 3 4
-1 1 1 0
59.36. Доказать, что всякая ,действительная квадратная матрица подобна верхней (нижней) квазитреугольной матрице, у которой диагональные клетки имеют порядок 1 или 2.
59.37. Из результата предыдущей задачи вывести следующее утверждение: в n-мерном действительном пространстве всякий оператор имеет инвариантное подпространство размерности п — 1 или п — 2.
59.38. 1. Пусть линейный оператор Л, действующий в п-мерном линейном пространстве V1 имеет систему вложенных друг в друга инвариантных подпространств Li С L2 С ... С Ln = V1 где dim Lk = k1 k = 1,п. Доказать, что в V существует базис, в котором матрица оператора Л верхняя треугольная.
2. Пусть в базисе е1}..., еп пространства V матрица линейного оператора Л имеет верхнюю треугольную форму. Доказать, что подпространства Lk = ?(еь ..., efc), k = 1,п, инвариантны относительно Л и строго вложены друг в друга.
§59. Инвариантные подпространства
45
59.39. Привести вещественную матрицу А к треугольному виду и указать соответствующую матрицу преобразования подобия, если:
"6 -1 1 " ' і 1 1 "
a) A = 5-5 5 б) A = 2 2 2
4 -9 9 _ -3 -3 -3
' 2 5 1 " " 3 -3 1 "
в) A = -1 -3 0 ; г) A = 3 -2 2
-2 -3 - -2 -1 2 0
" 1 0 1 " " 5 2 1 "
д)А = -1 -1 - -1 ; е) A = -8 -3 -2
0 1 0 7 4 3
59.40. 1. Пусть Li С L2 С ... С Lr = V - цепочка подпространств линейного пространства V1 инвариантных относительно линейного оператора А, и dim Li = П{ (щ < n2 < ... < nr = п). Пусть базис еь ..., еп выбран так, что векторы Єі,...,еПі принадлежат Li [г = 1,г). Показать, что матрица Ае - верхняя квазитреугольная с диагональными блоками порядков к{) где кг = пг - Пі_і (і = 2, г), fcx = пі.
2. Пусть в некотором базисе пространства матрица линейного оператора имеет верхнюю квазитреугольную форму. Доказать, что оператор обладает системой вложенных друг в друга инвариантных подпространств. Выразить их размерности через порядки диагональных блоков.
59.41. Найти все инвариантные подпространства для линейного оператора, имеющего в некотором базисе ei,..., еп матрицу, совпадающую с жордановой клеткой Jn(Ao)-
59.42. Пусть операторы А и В перестановочны. Доказать, что ядро и образ оператора В инвариантны относительно оператора А.
59.43. Доказать, что всякое собственное подпространство оператора А инвариантно относительно любого оператора, перестановочного с А.
59.44. Доказать, что если оператор A1 действующий в п-мерном пространстве, имеет п различных собственных значений, то любой оператор B1 перестановочный с A1 является оператором простой структуры. При этом все собственные векторы оператора А будут также и собственными векторами оператора В.
46
Глава XV.Структура линейного оператора
59.45. Доказать, что для перестановочных операторов Ли В простой структуры существует базис пространства, составленный из общих собственных векторов этих операторов.
59.46. Операторы А и B1 действующие в n-мерном комплексном пространстве V1 перестановочны и имеют простую структуру. Доказать, что если Лі,..., An и /x1,..., fxn - занумерованные с учетом алгебраической кратности собственные значения операторов Ли В соответственно, то собственными значениями оператора Л + В будут числа
Ai + Hi1, A2 + нч2,..., An + Hin, где г*і,...,гп - некоторая перестановка.
59.47. Доказать, что любые два перестановочных оператора комплексного пространства имеют общий собственный вектор.
59.48. Доказать, что для любого (хотя бы и бесконечного) множества G1 состоящего из попарно перестановочных операторов комплексного пространства V1 найдется собственный вектор, общий для всех операторов из G.
59.49. В пространстве irnxn оператор Л задан равенством ЛХ = [A1X]1 где А - фиксированная матрица. Доказать, что следующие подпространства инвариантны относительно А:
а) подпространство матриц с нулевым следом;
б) подпространство все верхних треугольных матриц (если матрица А верхняя треугольная);
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed