Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
' о 2 " 6) A = " -7 -2 '
-1 -3 8 2 )
' 1 - -2 2 " "411"
1 4 - -2 г) A = 2 4 1 )
1 5 - -3 . 0 14
" 4 -4 2 " 4 -2 2 "
2 -2 1 ; е) A = 2 О 2
-4 4 -2 -1 1 1
" 5 -1 -1 " " -6 2 3 "
-1 5 -1 ; з) A = 2 -3 6
-1 -1 5 3 6 2
з) оператора A1 действующего в пространстве многочленов Mn по правилу: Af (t) = tf'(t)\
и) оператора A1 действующего в пространстве многочленов
Mn по правилу: Af (t) = t~l \ f(?)d?.
Jo
59.12. Линейный оператор А задан матрицей А в некотором базисе е пространства V. Найти все инвариантные подпространства относительно этого оператора, если:
а) А
в) Л = д) A = ж) Л =
59.13. Что можно сказать об операторе А Є C(V1V)1 относительно которого любое подпространство в V инвариантно?
59.14. Доказать, что если в n-мерном пространстве V всякое подпространство размерности к1 где к - фиксированное натуральное число, 1 < к < Ti1 инвариантно относительно оператора A1 то А - скалярный оператор.
59.15. Пусть n G N - произвольное число. Привести пример n-мерного линейного пространства V и линейного оператора Л Є C(V1 V)1 имеющего ровно n + 1 различных инвариантных подпространств.
59.16. Что можно сказать о линейном пространстве V и операторе А Є C(V1 V)1 если оператор А имеет лишь два различных инвариантных подпространства?
59.17. Доказать, что ненулевой линейный оператор А 7^ X1 для которого А2 = A1 является оператором проектирования на im Л параллельно кет А.
59.18. Доказать, что всякий линейный оператор A1 не являющийся скалярным и для которого А2 = X1 является оператором отражения относительно собственного подпространства,
42
Глава XV. Структура линейного оператора
отвечающего собственному значению Ai = 1, параллельно собственному подпространству, отвечающему собственному значению A2 = — 1.
59.19. Доказать, что оператор простой структуры А на каждом своем инвариантном подпространстве L индуцирует также оператор простой структуры Л\Ь.
59.20. Пользуясь предыдущей задачей, доказать, что всякое нетривиальное инвариантное подпространство оператора A1 имеющего простую структуру, натянуто на некоторую систему собственных векторов этого оператора.
59.21. Доказать, что любое подпространство L комплексного пространства V1 инвариантное относительно линейного оператора A1 содержит одномерное подпространство, также инвариантное относительно А.
59.22. Доказать, что любое нечетномерное подпространство L действительного пространства V1 инвариантное относительно линейного оператора A1 содержит одномерное подпространство, также инвариантное относительно А. Верно ли это утверждение для инвариантных подпространств четной размерности? При каких условиях подпространство L содержит одномерное подпространство, все векторы которого остаются неподвижными под действием оператора А ?
59.23. Доказать, что комплексное пространство, содержащее единственное одномерное подпространство, инвариантное относительно линейного оператора A1 неразложимо в прямую сумму двух ненулевых подпространств, инвариантных относительно А.
59.24. Пусть А Є C(V1 V) - заданный оператор. Доказать, что комплексное пространство V разлагается в прямую сумму (одного или нескольких) инвариантных относительно А подпространств, каждое из которых содержит единственное одномерное инвариантное подпространство и, значит (согласно предыдущей задаче), далее не разложимо.
59.25. Пусть A0 - собственное значение линейного оператора A1 действующего в пространстве V. Доказать, что всякое подпространство в V1 содержащее \m(A — A0X), инвариантно относительно А.
59.26. Доказать, что если линейный оператор имеет собственный вектор, то для него существует (п — 1)-мерное инва-
§59. Инвариантные подпространства
43
риантное подпространство.
59.27. Доказать, что в n-мерном комплексном пространстве всякий линейный оператор имеет инвариантное подпространство размерности п — 1.
59.28. Доказать, что всякое fc-мерное инвариантное подпространство линейного оператора, действующего в комплексном линейном пространстве V, содержит (к — 1)-мерное инвариантное подпространство.
59.29. Что можно сказать о комплексном линейном пространстве V и операторе Л Є C(V, V), если оператор Л имеет: а) ровно три различных инвариантных подпространства; б) ровно четыре различных инвариантных подпространства?
59.30. Доказать, что если оператор Л, действующий в п-мерном комплексном пространстве V, обладает единственным одномерным инвариантным подпространством, то он имеет ровно n + 1 различных инвариантных подпространств.
59.31. Пусть А - матрица линейного оператора Л в некотором базисе е, Л - собственное значение оператора Л и ненулевой столбец о удовлетворяет уравнению aT(A — XI) = 0. Доказать, что уравнение атх = 0 в базисе е определяет (п — 1)-мерное подпространство, инвариантное относительно оператора А.
59.32. Найти (п — 1)-мерные подпространства в Е", инвариантные относительно линейного оператора, заданного своей матрицей А, если:
a) A =
в) A =
д)А =
1 2 -3
-1 -2 -3
-1 1 0 2
1 2
-3
-2 2 -1 2 -2 3
2 -1 1 0
