Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Выяснить, диагонализуемы ли операторы, заданные в некотором базисе комплексного пространства матрицами.
58.12. 58.13. 58.14. [° * .
§58. Операторы и матрицы простой структуры
29
' 5 4 4 " О 1 2 "
58.15. 2 6 4 58.16. -1 О - -2
-3 -5 -3- -2 2 О
" -1 -2 2 " О -6 - -2 "
58.17. -2 -1 2 58.18. — 2 -4 - -2
-3 -2 3 2 11 4 _
" О 3 3 - -2 1 2 "
58.19. -1 8 6 58.20. -1 О 2
2 -14 - IO -2 О 3
" 1 1 1 ' 1 1 1 "
58.21. 2 2 2 58.22. 2 2 2
3 3 3 - 3 -3 -3
" О 1 О ' — 2 5 3 '
58.23. О О 1 58.24. — 2 5 3
. 1 0 О 2 -5 -3
" 1 1 - - г О - 1 2 1 -1 О 1 -2 О
58.25. 1 + t О 3 —г г 1 58.26.
" 1 О О 1 - ' 1 1 1
58.27. 1 О О 1 О -1 1 О 58.28. 1 1 і -1 -1 1
О 1 -1 О 1 —г -1
О 2 -1 1
1 О 2 -1
1
—г -1
Выяснить, диагонализуемы ли следующие матрицы: а) над юлем Е; б) над полем С.
58.29.
58.32.
58.34.
1 -1 3 -2
0 0 1
1 О О О 1 О
0 1
1 2і
58.30.
5 -1 4 1
58.33.
58.35.
. 58.31.
Ol 1 -1 О -1 -11 о
1111
10 11 0 0 10 0 0 11
cosa sin a
- sin a cosa
зо
Глава XV. Структура линейного оператора
58.36.
58.38.
" 0 0 0 -1"
0 0 -1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
58.37.
" 1 0 0 -1"
0 1 -1 0
0 1 1 0
1 0 0 1
-5 4 6 2
-2 2 З
-З
-З -1
2 1
3 1
4 0
58.39. В пространстве вещественных многочленов Mn дан оператор Л, действующий по правилу
Ap{t) = t2p"{t) - btp'(t) - cp(t).
1. Найти спектр Л.
2. При каких b, с оператор Л имеет простую структуру?
Указать диагональный вид матриц операторов, действующих в арифметическом пространстве Еп и заданных в естественном базисе этого пространства следующими матрицами.
58.40. " 0 0 0 1 " 1 0 58.41. " 0 0 1 0
1 0 0 0 . 1 0 0
X У ... у '
58.42. У X ... у , X1 у Є 1
. У У . . . X
- 1 — 1 (- -1)" -1 -
58.43. -1 1 (- -1)п -2
. (- _1)п- -1 (_1)п-2 1
- 0 1 0 0 ... 0 0
п -1 0 2 0 ... 0 0
58.44. 0 п -2 0 3 ... 0 0
0 0 0 0 ... 0 п -1
0 0 0 0 ... 1 0
о 1
о о
о о
1 о
§58. Операторы и матрицы простой структуры
31
58.46.
1 о о о О "
о 1 о о о
1 о 1 о о
о о о о 1
о о о 1 о.
о 1 о о о О "
•1 о 1 о о о
о -1 о 1 о о
о о о о о 1
о о о о -1 о
58.47. Проверить, имеет ли матрица
"О ... О '
О ...Ot2 О
Otn ... О О
простую структуру, и, если да, указать ее диагональный вид, в следующих случаях:
а) Q1 = ... = am = 1, am+1 = ... = Otn = 4;
б) Of1 = ... = am = 1, ат+1 = ... = OLn = 0;
В) (X1 = . . . = OL7n = 1, am+l = . . . = OLn = -1
(здесь тп = [(n + 1)/2]).
58.48. При каких условиях на CK1, а2,..., Otn матрица А из предыдущей задачи подобна диагональной матрице?
58.49. Доказать, что если матрица А подобна диагональной матрице Л = diag(Ai,..., An) и T-1AT = Л, то диагональные элементы матрицы Л совпадают с собственными значениями A1 а столбцы матрицы преобразования подобия T - с линейно независимыми собственными векторами, отвечающими A1, A2,..., An соответственно.
Для каждой из приведенных ниже матриц выяснить, имеет ли эта матрица простую структуру. В случае положительного ответа найти матрицу преобразования подобия, приводящую данную матрицу к диагональному виду.
32
Глава XV. Структура линейного оператора
58.50.
58.52.
58.54.
58.56.
58.58.
58.60.
0 0 0 1 "
0 0 2 0
0 3 0 0
4 0 0 0 .
1 1 2 3
0 2 2 4
0 0 1 -2
0 0 0 2
110 0
3 0 10 -10 0 1 -2 0 0 0
5 2-3 4 5-4
6 4-4
4 7-5 -4 5 0
1 9 -4
-1 3 -1 -3 5 -1 -3 3 1
58.51.
58.53.
58.55.
58.57.
58.59.
58.61.
0 0 0 0
0 0 10
0 2 0 0
3 0 0 0
112 3 0 112 0 0 2 0 0 0 0 2
4 10 0
0 4 10
0 0 4 1
0 0 0 4
8 15 -36 8 21 -46 5 12 -27
4 2 -5 ' 6 4-9
5 3-7
1 1
-1 -1
1 -1
-1 1
58.62. Показать, что если матрица А подобна диагональной матрице diag(A!,..., An), то многочлен f(A) от матрицы А подобен матрице diag(/(A!),..., /(An)), причем с той же. матрицей преобразования подобия.
58.63. Найти необходимые и достаточные условия диагонализуемости матрицы А = хут, где х,у Є Knxl - заданные вектор-столбцы.
58.64. Пусть линейный оператор А, действующий в трехмерном комплексном линейном пространстве, имеет в некотором базисе вещественную матрицу и по крайней мере один корень характеристического многочлена этой матрицы не является вещественным. Доказать, что Л - оператор простой структуры.
58.65. Может ли сопровождающая матрица4 многочлена / (А) иметь простую структуру, если у этого многочлена есть хотя бы
4Cm. задачу 57.91.
§58. Операторы и матрицы простой структуры
33
один кратный корень?
58.66. Доказать, что матрицы А и В простой структуры подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый характеристический многочлен.
58.67. Доказать, что комплексная матрица, все собственные значения которой различны, подобна сопровождающей матрице своего характеристического многочлена.
58.68. Доказать, что всякий циркулянт5 в поле комплексных чисел имеет простую структуру.
