Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 58.3. Линейный оператор, действующий в комплексном пространстве, имеет простую структуру тогда и только тогда, когда для каждого собственного значения этого оператора геометрическая кратность совпадает с алгебраической.
В вещественном пространстве эта теорема верна для тех операторов, чьи характеристические многочлены имеют только вещественные корни.
Пример 58.1. Доказать, что матрица
A =
0 10 0
0 0 1 0
ООО 1 -6 17-1
подобна диагональной матрице. Указать матрицу T преобразования подобия, приводящую матрицу А к диагональному виду.
Решение. Матрица А подобна диагональной матрице тогда и только тогда, когда она имеет простую структуру, т.е. тогда и только тогда, когда имеет четыре линейно независимых собственных вектора. Найдем эти векторы. Имеем
-Л 1
det(A - XI) = 0 0 -Л 0 -
-6 1
-Л + 1 1 0 0
-Л + 1 -Л 1 0
-Л + 1 0 -Л 1
-Л + 1 1 7 -1-Л
о о 1
-1-Л
(-А + 1)
{прибавим к 1- 1 му столбцу > все остальные J
-{
вычтем из всех строк 1-ю
Л + 1)
1 1 0 0
1 -Л 1 0
1 0 -Л 1
1 1 7 -1 - Л
1 0 0
Л- 1 1 0
-1 -Л 1
0 7 - 1 - Л
= (-А + 1) (-А+1)
-Л - 1 -1
о
1 о -Л 1 7 -1-Л
{прибавим к 1-му 1 столбцу 3-й J
-Л - 1 0
-Л - 1
(Л2-1)
1
-Л 7
1
0 1
-1-Л
0 1
-1-Л
(А2 - D
1 1
0 -Л
1 7
0 1
-1-Л
(Л2-1)(Л + 3)(Л-2).
Таким образом, матрица А имеет четыре различных собственных значения Лі = 1, Л 2 = -1, Лз = -З, Л4 = 2, следовательно, является матрицей простой структуры. Решая однородные системы (А — \{1)х = 0, і = 1,4, найдем соответствующие собственные векторы. Получим
для Лі = 1: ei = (1,1,1,1)т,
§58. Операторы и матрицы простой структуры
27
для A2 = -1: е2 = (1, -1,1, -1) ,
для A3 = -3: е3 = (1, -3,9, -27)т,
для A4 = 2: е4 = (1,2,4,8)т. Векторы еі, Є2, ез, Є4 линейно независимы, так как отвечают различным собственным значениям.
Матрица
T =
1 1 1 -1 1 1 1 -1
1
-3 9
-27
столбцами которой являются собственные векторы еі,Є2,ез,Є4, является искомой матрицей преобразования подобия. ¦
Пример 58.2. Для матрицы А = ^ ^ найти матрицу Л30.
Решение. Покажем, что матрица А подобна диагональной. Для этого найдем все собственные значения и соответствующие собственные векторы матрицы А. Имеем
det(A - XI)
2-А 2 2 5-А
= А - 7А + 6 = (А - 6)(А - 1),
следовательно, Ai = 6, A2 = I- собственные значения матрицы А. Построив фундаментальную систему решений для однородной системы уравнений (А — Xil)x = 0, і = 1,2, найдем максимальную линейно независимую систему собственных векторов, отвечающих Ai. Для Ai = 6 собственным вектором будет вектор ei = (1,2)т, а для A2 = 1 - вектор е2 = (—2,1)т.
Если T = ^ 2 1 ] ~ матРИ1*а> столбцами которой являются найденные собственные векторы, то (пример 58.1) A = T^q T-1, откуда сле-
„™ л30 т Г б30 О I rp-i _ 1 Г 1 -2 1Гб30 0 1 Г 1 2 1
дует, что А = T [ 0 г\Т --J2 ! ] [ 0 і J [ -2 1 J =
2(630 + 1)
2(630 + 1) 4 - б30 - 1
ЗАДАЧИ
58.1. Пусть V = Li © L2. Доказать, что:
а) оператор проектирования на Li параллельно L2]
б) оператор отражения относительно L2 параллельно L1 имеет простую структуру.
58.2. Построить базис из собственных векторов операторов:
а) отражения плоскости относительно прямой х — 2у = О параллельно прямой Зх — у = 0;
б) проектирования плоскости на прямую Зх + 2у = 0 параллельно прямой X — у = 0;
28
Глава XV. Структура линейного оператора
в) проектирования пространства на плоскость х — Зу = О параллельно прямой х + z = O1 х + у — 2z = 0\
г) отражения пространства относительно прямой х = у = — z параллельно плоскости х + 2у — z = 0.
58.3. Доказать, что у оператора простой структуры:
а) образ есть линейная оболочка собственных векторов, отвечающих ненулевым собственным значениям;
б) пересечение ядра и образа состоит только из нулевого вектора;
в) ядро и образ в прямой сумме дают все пространство.
58.4. Привести пример линейного оператора A1 действующего в пространстве ir71, для которого Rn ф im А + кет А.
58.5. Доказать, что всякий многочлен f(A) от оператора простой структуры сам имеет простую структуру. Кроме того, если А невырожден, то А'1 имеет простую структуру.
58.6. Оператор A1 действующий в n-мерном пространстве V1 имеет п различных собственных значений. Доказать, что всякий оператор B1 перестановочный с A1 является оператором простой структуры.
58.7. Показать, что в условиях предыдущей задачи оператор В можно представить многочленом от оператора А.
58.8. Оператор A1 действующий в n-мерном пространстве V1 имеет п — 1 различных собственных значений. Найти необходимое и достаточное условие диагонализуемости оператора А.
58.9. Доказать, что если матрица А имеет простую структуру, то простую структуру имеет и матрица Ат.
58.10. Пусть хотя бы один из операторов А или B1 действующих в пространстве V1 обратим. Доказать, что если оператор AB имеет простую структуру, то простую структуру будет иметь и оператор BA. Верно ли это утверждение, если оба оператор А и В вырождены?
58.11. Выяснить, замкнуто ли множество всех операторов простой структуры, действующих в пространстве V1 относительно операций: а) сложения операторов; б) умножения операторов.
