Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
§57. Собственные значения и собственные векторы 13
ЗАДАЧИ
57.1. Найти собственные значения и собственные векторы каждого из следующих операторов:
а) нулевого; б) единичного; в) скалярного.
57.2. Какой вид имеет матрица линейного оператора А, если первые к векторов выбранного базиса пространства являются собственными векторами Al
57.3. Доказать, что:
1) ядро линейного оператора совпадает с собственным подпространством, отвечающим нулевому собственному значению;
2) если A0 - собственное значение линейного оператора A1 то кег(Д — A0X) есть собственное подпространство оператора А, отвечающее этому собственному значению;
3) собственные векторы, отвечающие ненулевым собственным значениям, лежат в образе оператора.
57.4. Пусть А - матрица линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве, a A0 - собственное значение этого оператора. Чему равна размерность собственного подпространства, отвечающего собственному значению A0, если ранг матрицы А — X0I равен г?
57.5. Показать, что при умножении оператора на ненулевое число собственные векторы не меняются, а собственные значения умножаются на это число.
57.6. Показать, что оператор A — al при любом а имеет те же собственные векторы, что и оператор А. Найти связь между собственными значениями этих операторов.
57.7. Доказать, что если х - собственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению А, то х будет собственным вектором и для оператора: а) А2] б) Ак при любом натуральном fc; в) f(A), где f(t) - любой многочлен. Найти соответствующие собственные значения этих операторов.
57.8. Верно ли следующее утверждение: если х - собственный вектор для некоторого многочлена f(A) от оператора А, то X является собственным вектором и для самого оператора А?
57.9. Доказать, что если оператор А2 имеет собственное значение А2, то одно из чисел А или —А является собственным значением оператора А.
57.10. Доказать, что характеристические многочлены /(А)
14
Глава XV. Структура линейного оператора
матрицы А и д(Х) матрицы А — X0I связаны соотношением
5(А) =/(A+ A0).
57.11. Используя задачу 57.10, показать, что алгебраические кратности соответствующих собственных значений операторов А и A-X0I одинаковы. Равны ли их геометрические кратности?
57.12. Доказать, что матрица невырождена тогда и только тогда, когда все корни ее характеристического многочлена отличны от нуля.
57.13. Доказать, что ранг матрицы не меньше числа ее ненулевых собственных значений.
57.14. Доказать, что если оператор А невырожден, то А и А'1 имеют одни и те же собственные векторы. Найти связь между собственными значениями этих операторов.
57.15. Пусть квадратная матрица А n-го порядка невырождена. Доказать, что характеристические многочлены /(А) матрицы А и h(X) матрицы А'1 связаны соотношением
A(A) = (-A)-IAI-1Z(A-1).
57.16. Используя задачу 57.15, показать, что алгебраические кратности соответствующих собственных значений операторов А и А-1 одинаковы. Равны ли их геометрические кратности?
57.17. Пусть А Є Cnxn. Доказать, что вещественный вектор-столбец является собственным вектором матрицы А тогда и только тогда, когда он является собственным вектором, общим для вещественной и мнимой частей матрицы А. Что можно сказать о собственных значениях этих матриц?
57.18. Известно, что матрицы А и В подобны. Как связаны их собственные векторы?
57.19. Выяснить, подобны ли следующие пары матриц:
" -3 2 5 2 4" ' 59 -63 13 2
-12 8 20 7 1 -147 159 -400 8
а) 3 -2 -5 0 12 и -24 63 -219 20
4 -1 3 7 0 15 93 31 10
10 12 11 5 -7. ю 23 113 0 -
" 9 18 9 36 45 " ' -7 4 -14 -28 -3 "
1 2 1 4 5 -5 13 -10 -20 8
б) 7 14 7 28 35 и 18 47 36 72 65
5 10 5 20 25 -6 63 -12 -24 57
3 6 3 12 15 25 10 50 100 35
4 ' 9
§57. Собственные значения и собственные векторы
15
" О 54 193 87 100" "112 17 23 44 -17"
О О О О -375 43 О О О О
в) 120 23 5 101 10 и 17 26 18 О О
О О 37 29 63 24 11 25 5 О
О О О -48 101 23 10 О О О
' 7 -12 6" "-2 1 2"
а) одна из матриц А = 10 -19 10 ,B = -1 0 2
12 -24 13 -2 0 3
57.20. Ответить на следующие вопросы, не находя собственных значений и собственных векторов указанных матриц:
подоб-
на диагональной матрице D = diag(l, 1,-1); какая именно? б) диагональная матрица D = diag( 1,1,0) подобна одной из
какой именно?
одна
подобна диагональной матрице Dx = diag(l, —1,0), а другая -диагональной матрице D2 = diag(l, 1,0); какая какой именно?
"-1 4 3' " 0 1 1"
матриц А = -2 5 3 ,B = 1 1 0
2 -4 -2 -1 0 1
' 2 1 -1" '2 -1 -1"
в) из двух матриц А = -1 0 1 ,B = 1 0 -1
1 1 0 3 -1 -2
57.21. Матрица А =
ршг
2 5 1 -1 -3 0 -2 -3 -2
-I, J3(-l), diag(—1, J2(-l)). Какой именно?
подобна одной из мат-
" 1 0 0 -1" "1 0 0 -1"
1 0 0 -1 , B = 0 1 -1 0
матриц А = 0 1 -1 0 0 1 -1 0
0 1 -1 0 1 0 0 -1
с =
3 -1 -1 -1"
1 1 1 -3
1 1 -3 1
-1 3 -1 -1
одна подобна матрице2 Л(0). Какая
именно?
57.23. Доказать, что собственные значения треугольной ма-
^атрицы 1), Л( — 1) ~ жордановы клетки (см. пример 57.7). 2Матрица 74(0) - жорданова клетка (см. пример 57.7).
