Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
0 1 1 -А
( прибавим к 4-му Ї < столбцу 1-й, а к > t 3-му столбцу 2-й J
A(A-2)
-1 0 0 0
0 -1 0 0
-1 0 2-А 0
0 1 2 -А
А2(А-2)2
Собственными значениями оператора Л, тем самым, являются числа Ai = 0 и А2 = 2, алгебраическая кратность каждого из них равна двум.
Для нахождения собственных векторов, отвечающих собственному значению Ai = 0, решим систему Аех = 0, т.е. систему
0 110 -12 0 1 -10 2 1
0 110
Г -1 0 2 110 1 [ 0 1 1 0 I 0 J
Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, аеї(Л — XX) = 2 и геометрическая кратность собственного значения Ai = 0 равна двум. Векторы /i = (1,0,0,1)т и /2 = (2, —1,1,0)т образуют фундаментальную систему решений. В базисе е этим векторам соответствуют многочлены fi(t) = 1-І-і3 и /2(*) = 2 — ? +12. Таким образом, собственные векторы, отвечающие Ai = 0, имеют вид a\f\(t) H- 0:2/2(^)1 гДе Qf? + а2 ф 0.
§57. Собственные значения и собственные векторы_11
Для нахождения собственных векторов, отвечающих собственному значению Л2 = 2, решим систему (Ае — 2I)x = 0, т.е. систему
-2 11 О
-10 0 1
-10 0 1 0 11-2
-10 0 0 1 1
1 I 0 -2 0
Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, так же, как и для собственного значения Ai =0, собственное значение А2 = 2 имеет геометрическую кратность 2. Векторы /3 = (1,2,0,1)т и /4 = (0, —1,1,0)т образуют фундаментальную систему решений. В базисе е этим векторам соответствуют многочлены /з(?) = 1 + 2? + ?3 и /4(0 = —t-И2. Таким образом, собственные векторы, отвечающие А2 = 2, имеют вид аз/з(?) + «4/4(^)1 гд? аз + <*2 Ф 0. ¦
Пример 57.6. Линейный оператор Л, действующий в комплексном пространстве, в некотором базисе имеет матрицу
А —
2 4-4 0 5-3 -1 3 1
Найти собственные значения и собственные векторы оператора А.
Решение. Составим характеристический многочлен оператора А\
2-А 0
-1
2-А
XI) = 0
-1
2-А 4
0 5 -
-1 3
4 4 -2А
-А 2 -А
2-А
4
5-А 3
0
2-А 4-А
= (2-А)
-4 -3 1-А
{прибавим к 3-му 1 столбцу 2-й J
I н:
рибавим к 3-му столбцу удвоенный 1-й
2-А 4 2 0 5 - А 1 -1 3 1
:(2-А)(А2-6А+10).
Корнями характеристического многочлена являются числа 2, 3 + і и 3 — г. Так как оператор А действует в комплексном пространстве, то все эти числа являются его собственными значениями, причем каждое имеет алгебраическую кратность 1.
Для каждого собственного значения найдем соответствующие собственные векторы.
Для собственного значения Ai = 2 решим систему (А — 2I)x = 0, т.е. систему
0 0 -1
-4 -3 -1
-1 0
-1 -1
Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, геометрическая кратность собственного значения Ai = 2 равна единице. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора ei = (2,1,1)т. Следовательно, собственными векторами оператора Л, отвечающими собственному значению Ai = 2, являются векторы, координатные столбцы которых в исходном базисе совпадают с aei, где а ф 0.
12
Глава XV.Структура линейного оператора
Для собственного значения Л2 = 3-Й решим систему (A — (3 + i)I)x = О, т.е. систему
-1-ї 4 -4 О 2-і -3 -1 3 -2-і
Г -1 3 [ О 2-і
-2-t I О
-3 О
Ранг матрицы этой системы равен двум, значит, геометрическая кратность собственного значения Л2 = 3 4- і также равна единице. Фундаментальная система решений состоит из одного вектора Є2 = (4,3,2 — i)T. Следовательно, собственными векторами оператора Л, отвечающими собственному значению Л2 = 3 H-1, являются векторы, координатные столбцы которых в исходном базисе совпадают с /?ег, где ? ф 0.
Для нахождения собственных векторов, отвечающих собственному значению A3 = 3 — г, необходимо решить систему (А — (3 — i)I)x = 0. Так как А - вещественная матрица, то матрицы А — (3 H- г) J и А — (3 — г) J комплексно сопряжены, и потому rg(i4 - (З - i)I) = Tg(A - (3 H- г) J) = 2. Тем самым, геометрическая кратность собственного значения A3 = 3 — г, как и собственного значения А2 = 3-М. равна единице. Так как для вектора Є2 выполнено соотношение (A — (3 + t)J)e2 = 0, то переходя к комплексно сопряженным величинам, получим (А — (3 — i)I)e2 = 0, откуда следует, что вектор ез = 62 = (4,3,2 H- ї)т составляет фундаментальную систему решений рассматриваемой системы. Следовательно, собственными векторами оператора Л, отвечающими собственному значению A3 = 3 — г, являются векторы, координатные столбцы которых в исходном базисе совпадают с 7Є3, где 7^0.
Пример 57.7. Матрица Л (Ao) =
A0 1 0 A0
0 1 0
A0 1 0 A0
размера k х к называется жордановой клеткой k-го порядка. Эта матрица имеет:
1) характеристический многочлен /(А) = (Ao — А)*;
2) собственное значение А = Ao алгебраической кратности А;;
3) собственные векторы, которые являются нетривиальными решениями однородной системы уравнений с матрицей
Л (A0)- A0J
0 1
0 0
0 0
0 0
ранг которой, очевидно, равен к — 1. Таким образом, геометрическая кратность собственного значения А = Ao равна единице и матрица Л (Ao) (а также оператор, задаваемый этой матрицей) имеет один линейно независимый собственный вектор.
