Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
9. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: теоремы и задачи. Том II (1).- M.: Зерцало, 2003.
10. Кострикин А.И. Введение в линейную алгебру - M.: Наука, 1977.
11. Кострикин А. И., M ан и н Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.- M.: Наука, 1986.
12. Курош А. Г. Курс высшей алгебры - M.: Наука, 1971.
13. Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа (в 2-х частях).- M.: Наука, 1978.
14. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры.- M.: Наука, 1996.
15. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.-M.: Наука, 1967.
16. Сборник задач по алгебре / Под ред. КострикинаА. И.- M.: Факториал, 1995.
17. Халмош П. Конечномерные векторные пространства.- M.: Физматгиз, 1963.
18. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.- M.: Мир, 1989.
19. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства).- M.: Наука, 1969.
Глава XV. Структура линейного оператора в комплексном пространстве
§57. Собственные значения и собственные векторы. Характеристический многочлен
Пусть V - линейное пространство над полем Р. Ненулевой вектор х Є V называется собственным вектором оператора А Є C(V1V)1 если существует такое число А Є Р, что
Ax = Xx.
Число Л называется собственным значением оператора А, соответствующим собственному вектору х. Множество всех собственных значений оператора А называется спектром этого оператора.
Из определения следует, что если X - собственный вектор оператора А, отвечающий собственному значению Л, то любой вектор ах, где а ф О, также будет собственным вектором оператора Д, отвечающим тому же собственному значению Л.
Пример 57.1. В пространстве вещественных многочленов Mn любой многочлен нулевой степени будет собственным вектором оператора дифференцирования (§52), ему соответствует собственное значение Л = 0.
Пример 57.2. Для оператора проектирования пространства V = Li (BL,2 на подпространство Li параллельно подпространству L^ (§52) любой ненулевой вектор из Li будет собственным вектором, отвечающим собственному значению Л = 1, так как Vx = ж, Va; Є Li, а любой ненулевой вектор из L2 будет собственным вектором, отвечающим собственному значению Л = 0, так как Vx = 0я, Vz Є L2.
Ненулевой вектор-столбец X Є Рп называется собственным вектором матрицы А Є PnXn, если существует число X Є P такое, что
Ax = Xx.
При этом число Л называется собственным значением матрицы А, соответствующим собственному вектору х.
Если е = (ei,...,en) - произвольный базис пространства V, то для оператора А Є C(V1V) соотношения
Ax = Xx и Аехе — Ххе
эквивалентны.
Это означает, что собственные значения оператора А и его матрицы в любом базисе е = (еі,...,е„) совпадают, а собственные векторы матрицы Ае являются координатными столбцами собственных векторов оператора А в этом базисе.
Теорема 57.1. Собственные векторы xi,... ,Xk оператора (матрицы), отвечающие различным собственным значениям Ai,..., Л&, линейно независимы.
Следствие. Линейный оператор, действующий в n-мерном пространстве, не может иметь более чем п различных собственных значений,
§57. Собственные значения и собственные векторы
7
или, в матричной формулировке, матрица п~го порядка не может иметь более чем п различных собственных значений.
Характеристическим многочленом матрицы А Є РпХп называется функция
/(A) = det(A-AJ), А Є Р. Теорема 57.2. Характеристический многочлен матрицы А Є РпХп является многочленом п~й степени от переменной А с коэффициентами из поля P, причем
/(А) = а0 + ai(-A) + а2(-Х)2 + ... + an-^-A)""1 + (-А)п, (57.1)
где каждый коэффициент а*, k = 0,п — 1, равен сумме всех главных миноров (п — к)-го порядка матрицы А. В частности, ао = detA, ап-\ = tr А.
Теорема 57.3. Характеристические многочлены подобных матриц совпадают.
Следствие. Все матрицы одного и того же линейного оператора имеют одинаковые характеристические многочлены.
Характеристическим многочленом оператора называется функция /(А) = аеЦД-А2), А Є Р. Из определения определителя оператора следует, что характеристический многочлен оператора совпадает с характеристическим многочленом матрицы этого оператора в произвольном базисе.
Следом оператора А называется след матрицы этого оператора в произвольном базисе. Обозначение: ЬтА.
Теорема 57.4. Пусть V - линейное пространство над полем Р. Число А Є P является собственным значением оператора А Є C(V1V) тогда и только тогда, когда А - корень его характеристического многочлена, т.е.
det(A - AJ) = 0. (57.2)
Уравнение (57.2) называется характеристическим уравнением для оператора А.
Теорема 57.5. Каждый линейный оператор, действующий в п-мерном комплексном пространстве, имеет:
1) п собственных значений, если каждое собственное значение считать столько раз, какова его кратность как корня характеристического многочлена;
2) хотя бы один собственный вектор.
Замечание. Теорема остается справедливой в вещественном пространстве для тех операторов, чьи характеристические многочлены имеют только вещественные корни.
Пусть Ao - собственное значение оператора А. Множество Wx0 = { X Є V I Ax = X0X} называется собственным подпространством оператора Л, отвечающим собственному значению Ao-
