Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
2 г 0 -г 2 -і 0 г 1
64.24. Симметричный оператор, действующий в пространстве многочленов M2 со стандартным скалярным произведением, переводит многочлены 2 + 2t — t2 и 2 — t + 2t2 соответственно в Ъ — t — t2 и 3 + Ш + Зі2. След этого оператора равен 3. Найти его матрицу в базисе 1, t, t2.
64.25. Что можно сказать об операторе .4, если он в любом базисе имеет эрмитову матрицу?
64.26. Пусть Hi и H2 - комплексные эрмитовы матрицы одинакового порядка. Доказать, что след матрицы HxH2 есть число действительное.
64.27. Пусть эрмитова матрица H представлена в виде H = S + гК, где SnK- действительные матрицы. Показать, что S - симметрическая, а К - кососимметрическая матрица.
64.28. Доказать, что в условиях предыдущей задачи действительная матрица
S -К К S
§64. Самосопряженные операторы и матрицы
115
является симметрической.
64.29. Доказать, что кронекерово произведение эрмитовых матриц H1 и H2 (имеющих, быть может, разный порядок) само является эрмитовой матрицей.
64.30. Доказать, что симметрическая матрица ортогонально подобна вещественной диагональной матрице.
64.31. Доказать, что для эрмитова оператора H скалярное произведение (Hx1 х) есть число действительное для любого вектора х.
64.32. Доказать, что если H - самосопряженный оператор и скалярное произведение (Hx1X) равно нулю для любого вектора X1 то оператор H нулевой.
64.33. Доказать, что если Н\ и H2 - самосопряженные операторы и для любого вектора х выполнено
(HiX1X) = (H2X1X)1
то H1 = H2.
64.34. Доказать, что если для любого вектора х унитарного пространства V скалярное произведение (Hx1X) есть число действительное, то оператор H эрмитов.
64.35. Доказать, что если А - унитарный оператор и оператор A-X обратим, то оператор i(A — X)'1(A + X) эрмитов.
64.36. Пусть А - эрмитов оператор. Доказать, что:
а) оператор А — H обратим;
б) оператор В = (А — H)"1 (А + гХ) унитарен;
в) оператор B-X обратим;
г) имеет место равенство A = г(В — X)~l(B + X).
64.37. Показать, что оператор А является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда оператор і А эрмитов.
64.38. Показать, что собственные значения косоэрмитова оператора суть чисто мнимые числа.
64.39. Пусть А - кососимметрический оператор, действующий в евклидовом пространстве V. Доказать, что (Ax1 х) = О для любого вектора х Є V.
64.40. Доказать, что если А - линейный оператор, действующий в унитарном пространстве V1 и для всех векторов х Є V выполнено равенство (Ax1X) = 0, то оператор А нулевой. Справедливо ли подобное утверждение в евклидовом пространстве?
64.41. Доказать, что ортогональное дополнение LL к подпространству L евклидова (унитарного) пространства, инвариант-
116 Глава ХУІ.Линейнме операторы в унитарном пространстве
ному относительно кососимметрического (соответственно, косо-эрмитова) оператора A1 также инвариантно относительно А.
64.42. Доказать, что характеристический многочлен косо-симметрической матрицы имеет только чисто мнимые корни.
64.43. Доказать, что характеристический многочлен косо-симметрической матрицы является четным многочленом.
64.44. Доказать, что кососимметрический оператор, действующий в нечетномерном пространстве, вырожден.
64.45. Доказать, что если косоэрмитов оператор А в унитарном пространстве имеет в некотором ортонормированном базисе вещественную матрицу и собственный вектор, отвечающий собственному значению га, а G 1, представлен в виде х + Iy1 где векторы X и у имеют вещественные координаты, то:
а) векторы X и у ортогональны;
б) векторы X и у имеют одинаковую длину;
в) выполнены соотношения: Ax = — ay, Ay — ax.
64.46. Доказать, что для любого кососимметрического оператора в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора имеет квазидиагональ-
о р--? о
нулевыми клетками первого порядка на главной клеточной диагонали.
64.47. Доказать, что кососимметрическая матрица ортогонально подобна вещественной квазидиагональной матрице с нулевыми клетками первого порядка и кососимметрическими клетками второго порядка на главной клеточной диагонали.
64.48. Найти характеристический многочлен вещественной матрицы, одновременно ортогональной и кососимметрической.
64.49. Доказать, что вещественная трехдиагональная матрица
ную форму с клетками второго порядка вида
, ? Ф 0, и
bi о . . о О "
bi a2 ь2 . . о о
А = О ь2 O3 . о о
О о о . • On-I bn-i
. О о о . • &П-1
Ьк ф 0, к = 1,п - 1,
ортогонально подобна диагональной матрице с различными диагональными элементами.
§64. Самосопряженные операторы и матрицы
117
64.50. Используя результат предыдущей задачи, показать, что матрица Якоби
An =
ui bi О C1 а2 Ь2 О C2 а3
ООО ООО
О О О
GIn-I Cn-I
О
о о
Ьп-1
ЬіСі > 0, і = 1,п,
вещественно диагонализуема.
64.51. Доказать справедливость следующих представлений для максимального и минимального собственных значений эрмитова оператора Н:
Ai
max
хфВ
{Hx1X) {х, х)
min
хфВ
{Ux1X)
{X1X)
Показать, что векторы, на которых достигаются указанные экстремумы, являются собственными векторами оператора U.
