Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 43

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 87 >> Следующая

А = 4 + К (66.1)
эрмитова (симметрического) оператора Ti и косоэрмитова (кососимметрического) оператора /С.
Разложение (66.1) называется эрмитовым разложением оператора А.
В унитарном пространстве эрмитово разложение может быть переписано в виде А = Hi 4- где Н\ и Hi - эрмитовы операторы.
Теорема 66.2. Линейный оператор А Є C(V1V) в унитарном (евклидовом) пространстве нормален тогда и только тогда, когда операторы % и К в эрмитовом разложении (66.1) этого оператора перестановочны.
Теорема 66.3. Любой оператор А в унитарном (евклидовом) пространстве может быть представлен в виде произведения
A = HU (66.2)
неотрицательного оператора Ti и унитарного (ортогонального) оператора U. При этом оператор H определен однозначно, а если А обратим, то однозначно определен и оператор U.
Разложение (66.2) называется полярным разложением оператора А. Теорема 66.4. Оператор А нормален тогда и только тогда, когда в любом его полярном разложении (66.2) операторы Ti и U перестановочны.
Г -1 -7
Пример 66.1. Найти полярное разложение матрицы А = ^ у
Решение. Известно (см. задачи 66.46 и 66.47), что,в полярном разложении А = BU матрица В является квадратным корнем из матрицы ААТ, а матрица U переводит ортонормированный базис из собственных векторов матрицы АТА в ортонормированный базис из собственных векторов матри-
" 1 7 1
цы ААТ. Имеем АТА = 2 у 49 ' собственными значениями АТА являются числа р\ = 0, р\ = 100, а ортонормированным базисом из собственных
векторов АТА - векторы е\ = ——(7, — 1)Т, є2 = —^=(1, 7)т. Аналогич-
5у2 5у2
но, ААТ = 50 Jj, числа р\ = 0, р\ = 100 являются собственными
значениями ААТ, а векторы /i = -4=(1,1)Т, /2 = -4=(-1,1)Т образуют ор-
v2 v2
тонормированный базис из собственных векторов ААТ. Обозначим через
матрицы, столбцами которых являются векторы еі,є2 и /1,/2. В этих обо-значениях ААТ = Q"1 [ J 10jJ ] Q = QT [ J 10J ] Q1 поэтому В = (ААТ)1'* =
§66. Разложения линейных операторов и матриц
131
QT О IO ] Ф = [ -5 5 ] • Таким образом, В = |^ _Ц 5 ] • с ДРУ"
г 1 Г 3 —4 1
гой стороны, Uei = /і, [7б2 = /2, т.е. UP = QnU = QP =-1^ 3 I.
Г 5 —5 1 1 Г 3 —4 1
Таким образом, А = BU1 где Б=|_^ 5 J' ^ = 5 I 4 ЗІ"
Замечание. Во избежание больших вычислений полезно помнить, что собственные значения матриц Ат А и ААТ лишь множителем отличаются
от собственных значений матриц 49 ] и [ — 1 1 ] соответственно?
а собственные векторы совпадают. ¦
ЗАДАЧИ
Эрмитово разложение
66.1. Во что переходит эрмитово разложение матрицы порядка п при п = 1?
66.2. Что можно сказать о линейном операторе A1 действующем в унитарном пространстве V1 если (Ax1 х) = 0 для всякого вектора X Є Vl
66.3. Что можно сказать о линейных операторах А и B1 действующих в унитарном пространстве V1 если для всех векторов X Є V выполнено равенство:
a) (Ax1X) = (Bx1X)] б) (Ax1X) = (X1Bx)I
66.4. Доказать, что если для линейного оператора A1 действующего в унитарном пространстве V1 скалярное произведение (Ax1 х) есть число действительное, каков бы ни был вектор X Є V1 то А - эрмитов оператор.
66.5. Показать, что в определении положительно определенного оператора, действующего в унитарном пространстве, требование, чтобы этот оператор был эрмитовым, является излишним.
66.6. Пусть HhS- эрмитовы операторы. Показать, что скалярное произведение (Hx1 Sx) будет действительным числом для любого вектора х тогда и только тогда, когда операторы H и S перестановочны.
66.7. Что можно сказать о матрице А Є Cnxn, если она ортогональна
а) любой эрмитовой матрице;
б) любой косоэрмитовой матрице
в смысле скалярного произведения (A1B) = іт(ВнА)1
132 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
66.8. Пусть матрица А Є Cnxn такова, что для любой эрмитовой матрицы H след произведения АН есть действительное число. Доказать, что в этом случае матрица А эрмитова.
66.9. Как связаны эрмитовы разложения оператора А и его сопряженного *4*?
66.10. Показать, что для нормального оператора А, действующего в унитарном пространстве, собственные значения операторов Hi и H2 в его эрмитовом разложении A = Hi + гН2 совпадают соответственно с действительными и мнимыми частями собственных значений оператора А.
66.11. Показать, что всякий ортонормированный базис из собственных векторов нормального оператора А является в то же время базисом из собственных векторов и для операторов Нъ H2 его эрмитового разложения A = Hi + гН2.
66.12. Пусть А и В - перестановочные нормальные операторы, и А = Hi + iH2) В = Si + IS2 - их эрмитовы разложения. Доказать, что все операторы Hi, H2, Si, «S2 перестановочны.
66.13. Пусть А - оператор n-мерного унитарного пространства V с эрмитовым разложением A = Hi + гН2. Доказать, что множество значений скалярного произведения (Ах,х), где X Є V - произвольный нормированный вектор, заключено в прямоугольнике (аь А), (аі,/?п), (аПЇ/?і), (an,?n). Здесь au ?i иап, ?n - соответственно наибольшие и наименьшие из собственных значений операторов Hi и H2.
66.14. Пользуясь предыдущей задачей, доказать следующую теорему Бендиксона: действительные (мнимые) части собственных значений оператора А, действующего в унитарном пространстве, заключены между наибольшим и наименьшим из собственных значений оператора Hi (соответственно H2) его эрмитова разложения A = Hi Л- iH2.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed