Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
66.15. Доказать, что собственные значения оператора А, действующего в евклидовом пространстве, заключены между наибольшим и наименьшим из собственных значений оператора H его эрмитова разложения А = H + /С.
66.16. Известно, что в эрмитовом разложении A = Hi Л- гЧ2 оператора А, действующего в унитарном пространстве, оператор Hi положительно определен. Доказать, что оператор А невырожден.
66.17. Доказать, что в условиях предыдущей задачи выпол-
§66. Разложения линейных операторов и матриц
133
нено неравенство
I det А\ > det Ui. Когда достигается равенство в этом соотношении?
66.18. Доказать, что пространство Епхп является ортогональной суммой подпространств симметрических и кососимме-трических матриц.
66.19. Что можно сказать о линейном операторе A1 действующем в евклидовом пространстве V1 если (Ax1X) = 0 для всякого вектора х Є Vl
Сингулярное разложение
66.20. Пусть А - линейный оператор ранга г, действующий из n-мерного унитарного (евклидова) пространства V в ш-мерное унитарное (соответственно евклидово) пространство W и ei,..., еп - ортонормированный базис из собственных векторов оператора A*A1 причем векторы еь ..., ет отвечают ненулевым собственным значениям р2,..., p2r (pi > 0, і = 1,г). Доказать, что:
1) векторы er+i,..., еп образуют базис ker А]
2) векторы ei,..., ег образуют базис im Л*;
3) векторы AeI1..., Ает ортогональны и образуют базис im Л;
4) I Дел I = рк1 к = Т~г; _
5) каждый их векторов Ae^, к = 1,г, является собственным вектором оператора AA*, отвечающим собственному значению
6) если положить fk = Pk гАек) то
A*fk = Ркек-
66.21. Доказать, что ненулевые собственные значения операторов А*А и AA* совпадают. Арифметические значения квадратных корней из общих собственных значений операторов А* А и AA* называются сингулярными числами оператора А. Аналогично определяются сингулярные числа прямоугольной матрицы А (комплексной или вещественной).
66.22. Зная сингулярные числа оператора А, найти сингулярные числа: а) оператора А*] б) оператора aA1 где а - произвольное комплексное число.
66.23. Доказать, что сингулярные числа оператора не изменяются при умножении его на унитарный оператор.
134 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
66.24. Показать, что оператор А не вырожден тогда и только тогда, когда все его сингулярные числа отличны от нуля.
66.25. Показать, что модуль определителя оператора равен произведению его сингулярных чисел.
66.26. Предполагая, что оператор А невырожден, найти связь между сингулярными числами операторов А и А-1.
66.27. Доказать, что сингулярные числа нормального оператора совпадают с модулями его собственных значений.
66.28. Доказать, что оператор A1 действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, унитарен (соответственно ортогонален) тогда и только тогда, когда все сингулярные числа этого оператора равны единице.
66.29. В пространстве многочленов Mn со стандартным скалярным произведением найти сингулярные числа оператора дифференцирования.
66.30. Найти сингулярные числа оператора дифференцирования в пространстве многочленов M2, если скалярное произведение задано формулой
Сравнить полученный результат с результатом предыдущей задачи.
66.31. В условиях задачи 66.20 доказать, что существуют ортонормированные системы ei,..., еп Є V и Ji,..., J7n Є W такие, что
Подобные ортонормированные системы ei,..., еп и Ji1..., J7n называются сингулярными базисами оператора А.
66.32. Доказать, что если еь ..., еп и Ji1..., J7n - сингулярные базисы оператора A1 то (в обозначениях задачи 66.20):
1) ei,..., еп - ортонормированный базис пространства V из собственных векторов оператора А* А]
2) /і, • • •, Jm - ортонормированный базис пространства W из собственных векторов оператора AA*.
66.33. Пусть А - матрица размера тхп ранга г, вещественная или комплексная. Доказать, что матрицу А можно представить в виде
(/,5) = /(-1M-I) + /(0)(/(0) + /(I)5(I).
А = UKV
§66. Разложения линейных операторов и матриц
135
где UnV- ортогональные (унитарные) матрицы соответственно порядков m и п, Л - матрица размера m х п такая, что An > А22 > • •. > Агг > 0, а все остальные элементы равны нулю. Такое представление называется сингулярным разложением матрицы А.
66.34. Доказать, что если А = UAV - сингулярное разложение матрицы А, то:
1) диагональные элементы матрицы Л являются сингулярными числами матрицы А]
2) столбцы матрицы U образуют ортонормированный базис из собственных векторов матрицы ААН]
3) столбцы матрицы Vм образуют ортонормированный базис из собственных векторов матрицы АНА]
4) столбцы матриц Vм и U образуют сингулярные базисы матрицы А.
66.35. Зная сингулярное разложение А = UAV матрицы А, найти сингулярные разложения и сингулярные числа матрицы: а) АТ\ б) Ан\ в) А-1, если А обратима.
66.36. Определим для матрицы А Є cmxn квадратную матрицу В порядка m + n формулой
О А Ан О
Показать, что если Cr1,...,<тд, где q = min(m,n), - сингулярные числа матрицы А, то собственными значениями матрицы В являются числа ±о*і,..., ±aq и \m — п\ нулей.
