Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы
123
или отрицательно определенной.
65.22.
п- 1 1 0 . 0 0 0 "
1 п - 2 1 . 0 0 0
0 1 п-3 . . 0 0 0
0 0 0 . 2 1 0
0 0 0 . 1 1 1
0 0 0 . 0 1 0
65.23.
65.24.
п+1 1 0 .. 0 0 0
1 п 1 .. 0 0 0
0 1 п-1 . .. 0 0 0
0 0 0 .. 4 1 0
0 0 0 .. 1 3 1
0 0 0 . 0 1 2
п 1 0 . 0 0 0
1 п-1 1 . 0 0 0
0 1 п - 2 . . 0 0 0
0 0 0 . 3 1 0
0 0 0 . 1 2 1
0 0 0 . 0 1 1
65.26.
п2 1 . 0 0
1 (п - I)2 . 0 0
0 0 . 4 1
0 0 . 1 1
1 1 0 ... 0 0 "
1 2 1 ... 0 0
0 1 2 ... 0 0
0 0 0 ... 2 1
0 0 0 ... 1 1
65.27. Пусть в матрице А все диагональные элементы равны единице, а все внедиагональные равны а. Доказать, что если \a\ < 1, то матрица А положительно определена.
124 Глава XVI.Линейные операторы в унитарном пространстве
65.28. Доказать, что если в трехдиагоналыюй матрице вида
О О О
Ь
a
действительные числа а и Ъ удовлетворяют условию a — 1 > Ь2, то эта матрица положительно определена.
65.29. Доказать, что если в трехдиагональной матрице вида
a Ь 0 . . 0
Ь a Ь . . 0
0 Ь a . . 0
0 0 0 . . a
0 0 0 . . b
сії bi о bi a2 b2 0 62 a3
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0 0
bn-l &n
действительные числа ak и bk таковы, что аг > 1, afc+i > b\ + 1, VA; = l,n — 1, то эта матрица положительно определена.
65.30. В неотрицательно определенной матрице А = (akj) для некоторого к выполнено акк — 0. Доказать, что akj = а^к = О для всех j.
65.31. Показать, что в положительно определенной матрице максимальный по модулю элемент стоит на главной диагонали.
65.32. Доказать, что эрмитова матрица H = (hkj) Є Cnxn с диагональным преобладанием
к=1
положительно определена.
65.33. Пусть H = S + ІК - комплексная положительно определенная матрица. Доказать, что действительная матрица
S -К
. К S положительно определена.
65.34. Доказать следующий критерий Якоби положительной определенности: самосопряженный оператор, действующий
D =
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы
125
в евклидовом или унитарном пространстве положительно определен тогда и только тогда, когда все коэффициенты его характеристического многочлена отличны от нуля и имеют чередующиеся знаки.
65.35. Доказать, что среди всех миноров fc-ro порядка положительно определенной матрицы H наибольшим по модулю является некоторый главный минор.
65.36. Доказать, что кронекерово произведение положительно определенных матриц Hi и H2 (имеющих, быть может, разный порядок) само является положительно определенной матрицей.
65.37. Что можно сказать об операторе Л, если в базисе е он имеет унитарную матрицу Ае) а в базисе / - положительно определенную матрицу Ар.
65.38. Доказать, что если оператор *4, действующий в евклидовом пространстве V, положительно определен, то для всех векторов ж, у Є V имеет место неравенство
(х,Ах)(у,А~1у) > (ж,у)2.
65.39. Доказать, что для любой симметрической положительно определенной матрицы А = (а^) существует разложение
А = LLT, (65.2)
где L - левая треугольная матрица.
65.40. Доказать справедливость следующих рекуррентных соотношений для элементов lkj матрицы L в разложении (65.2) (метод квадратного корня или метод Холецкого):
hi — an j hi — akilhi-> > 1,
f« = («ii-e'j,)1/a. і>і.
p=i i-i
hj — (a>kj - *%2hplkp)/lj3i ^ > 3-P=i
65.41. Доказать, что матрица А Є Cnxn положительно определена тогда и только тогда, когда А = ВнВ для некоторой невырожденной матрицы В Є Cnxn.
65.42. Пусть А Є CnXn - положительно определенная матрица и имеют место равенства: А = B^Bi, А = B^B2, в которых
126 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
Bi1B2 Є CnXn. Доказать, что найдется унитарная матрица U такая, что B2 = UB1.
Найти квадратные корни из следующих матриц.
2 11] 12 1. 112
1111" 1111 1111 1111
65.47. Доказать, что для определителя положительно определенной матрицы H = (hkj) порядка п справедливо неравенство
det H < hnh22 ... hnn. Знак равенства здесь имеет место тогда и только тогда, когда H - диагональная матрица.
65.48. Применяя результат предыдущей задачи к матрице H = ААН, где А = (akj) - невырожденная матрица п-го порядка, доказать следующее неравенство Адамара:
|detA|2<n?k;|2-
65.49. Пусть U и S - эрмитовы операторы, причем <S неотрицательно определен. Доказать, что если U и S перестановочны, то перестановочны и операторы Ti и «S1/2.
Пара эрмитовых оператора Тії и % связана неравенством Ux > U2 (Ui < U2, Ui > U2, Ux < U2), если оператор Пі - U2 неотрицательно (соответственно, неположительно, положительно или отрицательно) определен.
65.50. Показать, что отношение > на множестве эрмитовых операторов обладает следующими свойствами:
а) если U > S, S > Т, то U > Т;
б) если Ui > Si, U2 > S2, то аПі + ?U2 > aSi H- ?S2 для любых неотрицательных чисел а и ?;
в) если U > S, то A*UA > A*SA для любого оператора А.
65.51. Положительно определенный оператор H удовлетворяет неравенству 7і>1. Доказать, что У.'1 <1.
65.43.
65.44.
65.45.
24 6 6 33 -12 6
