Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
63.28. Пусть UnV- унитарные матрицы п-го порядка. Показать, что:
а) оператор TX = UXV является унитарным;
б) оператор QX = UX + XV1 вообще говоря, не является унитарным.
63.29. Показать, что при унитарно подобном преобразовании нормальная матрица переходит в нормальную.
63.30. Может ли матрица ортогонального (унитарного) оператора в некотором базисе быть неортогональной (неунитарной)?
63.31. Линейный оператор A1 действующие в евклидовом пространстве V1 задан в базисе /ь ..., Jn матрицей A1 еь ..., еп - ортонормированный базис в V. Определить, является ли оператор А ортогональным, если:
а) /i = ei + е2, /2 = е2, А =
б) /i = еь /2 = ei + е2, А =
в) /i = Se1 + е2, /2 = 2ei + е2, А
1 7 4 '
5 -8 -1
1 ' 1 -1 '
V2 1 1
г) /і = еь /2 = -еі+е2, /з
л/ЇО .
, 1
еі-е2+е3, A= -
-4 -5 10 10 2 1
-2
д) /і = е2 + е3, Z2 = CiH-C31Z3^e1 + е2) Л -
1
2 -3 2
1
-2 1
3 0 0 0 0 3
63.32. Доказать, что линейный оператор, сохраняющий ортогональность любых двух векторов, лишь числовым множителем отличается от некоторого унитарного оператора.
63.33. Доказать, что всякое отображение, действующее в евклидовом (унитарном) пространстве и сохраняющее в нем ска-
106 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
лярные произведения, линейно.
63.34. Может ли ортогональный оператор:
а) не иметь собственных векторов;
б) обладать базисом из собственных векторов;
в) иметь по крайней мере один собственный вектор, но не иметь базиса из собственных векторов?
Привести соответствующие примеры.
63.35. Найти собственные значения и какую-нибудь максимальную ортонормированную систему собственных векторов ортогонального оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства матрицей:
ж)
-1 1
3 4
4 -3
д)
cosa sin a
1
-1
- sin a cosa
в)
e)
4
-З
cosa sin a
sin a cosa
" 0 0 1' ¦• ¦»I " 1 2 2 '
1 0 0 2 1 -2 ; и)
0 1 0 2 -2 1
і з Ve з і -Уё
Ve v/6 -2
м)
0 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 10
•л
v/2 1 -v/2 1 0 у/2
2 1 2 1 2 -2 -2 2 1
1 1
-у/2
63.36. Найти собственные значения и какой-либо ортонормированный базис из собственных векторов унитарного оператора, заданного в ортонормированном базисе унитарного пространства матрицей:
1 Г 4 3 5 -3 5
б)
в)
cosa sin a
— sin a cosa
д)
2-rtt
-2
2г 1 + 2«
e)
0 1
о
§63. Унитарные операторы и матрицы
107
ж)
л)
2 1 2 1 2 -2 -2 2 1
У2 1 -у/2 1 0 \/2
0 0 0 1 10 0 0 0 10 0 0 0 10
1 3 3 1
-v/6 Ve
і і
¦у/2
к)
1
1
і
-1-:
Ve
-2
—і —1 — і 1 -1 + і 1-і O
63.37. Пусть линейный оператор евклидова (унитарного) пространства обладает ортонормированным базисом из собственных векторов, отвечающих собственным значениям, по модулю равным единице. Доказать, что оператор является ортогональным (унитарным).
63.38. Доказать, что оператор Л, заданный в ортонормиро-ванном базисе евклидова пространства матрицей:
а)
г)
_1_ 71
1 2 2
1
-1
2 1
-2
3 4
4 -3
2 -2 1
д)
о 1 о о
в) 1
о о о
cosa sin a
sin a — cos a
представляет собой ортогональное отражение относительно некоторого подпространства L. Найти это подпространство.
63.39. В базисе l,t,t2 пространства M2 оператор Л имеет матрицу
3 -2 -2 2 -1 -2 2 -2 -1
Показать, что Л - оператор отражения. Ввести в M2 скалярное произведение так, чтобы Л был ортогональным оператором.
63.40. Пусть в некотором ортонормированном базисе матрица унитарного оператора Л вещественна и пусть / - собственный вектор оператора Л, отвечающий комплексному собственному значению Л = a+i?, ? ф 0. Пусть / = u + iv, где векторы г* и V имеют в том же базисе вещественные координаты. Доказать,
108 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
что:
а) вектор д = u — iv является собственным вектором оператора A1 отвечающим собственному значению Л = a — г/3;
б) векторы и и у ортогональны и, кроме того, \и\ = |v| = |/|/\/2, Au = au — ?v1 Av — ?u + av.
63.41. 1. Пусть A - ортогональный оператор и A = a + i? (? ф 0) - комплексный корень его характеристического многочлена. Доказать, что найдется пара ненулевых ортогональных векторов U1V таких, что Au = au — ?v1 Av = ?u + av.
2. Доказать, что всякий ортогональный оператор обладает одномерным или двумерным инвариантным подпространством.
63.42. Ортогональный оператор А в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства задан матрицей:
0 0 1
а)
ч/2 L
б)
г)
1 0
2 1 2 1 2 -2 -2 2 1
у/2 1 -у/2 1 0 у/2
е)
1 1
-л/2
1 3 ч/б 3 1 -у/6
¦у/В уД -2
0 0 0 1 10 0 0
0 10 0
0 0 10
и)
1 1 1
1 -1 -1
-1 1 -1
-1 -1 1
к)
1 1 1
1 -1 -1
1 -1 1
1 1 -1
Найти канонический базис и матрицу оператора Л в этом базисе.
63.43. Доказать, что унитарная матрица второго порядка с определителем, равным единице, подобна вещественной ортогональной матрице.
63.44. Доказать, что линейный оператор Л, удовлетворяющий условию
(А*)100 = А-1,
является унитарным.
63.45. Известно, что все собственные значения оператора А є C(V, V) по модулю равны единице и \Ах\ < \х\ для всех
