Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
-12 6 24
65.46.
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы
127
65.52. Доказать, что если два положительно определенных оператора Hi и H2 связаны неравенством Hi >H2j то для обратных операторов выполнено соотношение Нї1 < H21.
65.53. Доказать, что если А > O, то А + А'1 > 21.
65.54. Пусть эрмитов оператор H положительно определен. Доказать, что существует такое число a > 0, что H > olX.
65.55. Пусть эрмитов оператор H положительно определен. Доказать, что для любого положительно определенного оператора А существует такое число а > 0, что H > а*4.
65.56. Пусть А - самосопряженный оператор. Доказать, что следующие утверждения эквивалентны:
а) все собственные значения А лежат на отрезке [а, 6];
б) оператор А — XX отрицателен при А > 6 и положителен при А < а.
65.57. Показать, что произведение HiH2 перестановочных неотрицательно определенных операторов Hi и H2 также является неотрицательно определенным оператором.
65.58. Пусть Hi > H2 и T - неотрицательно определенный оператор, перестановочный CW1 и H2. Доказать, что
HiT > H2T.
65.59. Пусть Hi и H2 - эрмитовы операторы, причем H2 положительно определен. Доказать, что собственные значения оператора HiH2 суть действительные числа, при этом сам оператор имеет простую структуру.
65.60. Пусть в условиях предыдущей задачи оператор Hi неотрицательно определен. Показать, что все собственные значения оператора HiH2 неотрицательны.
65.61. Показать, что справедливо утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи: если операторы Hi и H2 -эрмитовы, H2 положительно определен и все собственные значения оператора HiH2 неотрицательны, то Hi неотрицательно определен.
65.62. Пусть А и В - операторы, действующие в унитарном (евклидовом) пространстве V. Задача нахождения числа А и ненулевого вектора х, удовлетворяющих уравнению
Ax = XBx1 (65.3)
называется обобщенной проблемой собственных значений, при этом числа А называются собственными значениями обобщен-
128 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
ной проблемы, а векторы х - соответствующими собственными векторами.
1. Доказать, что собственные значения обобщенной проблемы являются решениями уравнения
det(A - XB) = О, называемого Х-уравнением пары операторов А и В.
2. Доказать, что если оператор В невырожден, то обобщенная проблема собственных значений (65.3) эквивалентна стандартной проблеме собственных значений
Ax = Xx.
Указать соответствующий оператор А.
65.63. Доказать, что если В - положительно определенный оператор, то обобщенная проблема собственных значений (65.3) эквивалентна стандартной проблеме собственных значений вида
Ay = Xy,
где А = B-V2AB-1'2, у = B1I2X.
65.64. Доказать, что если в условиях предыдущей задачи А - положительно (неотрицательно) определенный оператор, то все собственные значения обобщенной проблемы собственных значений (65.3) положительны (неотрицательны).
65.65. Пусть А и В - эрмитовы матрицы порядка п, причем В - положительно определена. Доказать, что:
а) левая часть А-уравнения пары матриц Аи В представляет собой многочлен от А степени п, старший коэффициент которого равен определителю матрицы —В;
б) А-уравнение имеет п действительных корней, если каждый считать столько раз, какова его кратность.
65.66. Пусть в обобщенной проблеме (65.3) оператор А Є C(V, V) эрмитов, a?- неотрицательно определен. Доказать, что в пространстве V существует ортонормированный базис из собственных векторов задачи (65.3) тогда и только тогда, когда оператор В невырожден.
65.67. Пусть А - эрмитова матрица, a?- положительно определенная матрица. Пользуясь задачами 65.63 и 65.66, показать, что существует невырожденная матрица S такая, что
SHBS = /, SHAS = Л, где Л - некоторая диагональная действительная матрица.
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы
129
65.68. Доказать, что для любых положительно определенных матриц A1 В и любых положительных чисел а, ?: а + ? — 1 выполнено неравенство
\aA + ?B\ > \A\a-\B\?.
65.69. Пусть А и В - матрицы порядка n > 1, причем А > О и В >0. Доказать, что
\А + В\ > \А\ + \В\, причем равенство достигается лишь при B = O.
65.70. Положительно определенная матрица А представлена в клеточном виде:
A =
Ан
Ai2 A22
где Ац и A22 - квадратные подматрицы. Доказать, что
det А < det Ац • det A22, причем равенство достигается лишь тогда, когда Ai2 = О.
65.71. Положительно определенная матрица А представлена в клеточном виде:
Ан
Ai2 A22
причем подматрица Ai2 - квадратная. Доказать, что I det А12|2 < det Ац • det A22.
65.72. Матрицы А и В эрмитовы, причем А > О. Доказать,
что
\det(A + iB)\ > detA1 причем равенство достигается лишь при B = O.
65.73. Доказать следующее неравенство Минковского для определителей: если матрицы А и В порядка п положительно определены, то
(det(Л + ?))1/n > (det A)1/n + (det B)1/n. Показать, что равенство здесь имеет место тогда и только тогда, когда В = а А для некоторого числа а > 0.
130 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
§66. Разложения линейных операторов и матриц
Теорема 66.1. Линейный оператор А в унитарном (евклидовом) пространстве может быть представлен, и притом единственным образом, в виде суммы
