Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
где U - унитарный оператор, а Є С, р > 0 - некоторые числа.
63.8. Может ли оператор проектирования быть унитарным?
63.9. Показать, что оператор ортогонального отражения является унитарным оператором.
102 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
63.10. Показать, что операторы задачи 63.6, пунктов "в)" и "г)" являются операторами ортогонального отражения. Найти собственные подпространства каждого из них.
63.11. Доказать, что нормальный оператор A1 удовлетворяющий условию Ак = I при некотором целом к ф 0, является унитарным оператором.
63.12. Линейный оператор А евклидова (унитарного) пространства переводит некоторый базис J1,..., Jn в систему векторов gi = AJi1 ...,ffn = Afn- Показать, что оператор А ортогонален (унитарен) тогда и только тогда, когда матрицы Грама систем /i,..., /п и gu ...,дп совпадают.
63.13. Определить, является ли ортогональным оператор А n-мерного евклидова пространства, действующий на векторы ортонормированного базиса ei,..., еп по формулам:
a) Ae1 = ех+е2, Ae2 = е2; б) Ae1 = ех+е2, Ae2 = еі~е2;
в) Ae1 = ^=(ei + ег), Ae2 = ^(еі - ез);
г) Ae1 = ^(5ei - 12е2), Ae2 = j7j(12ei + 5е2);
д) ^e1 = i(3ei + 4е2), Де2 = i(4ei + Зе2);
е) Ae1 = e1+2e2 + 2e3l Ae2 = 2еі+е2-2е3, Ae3 = 2еі-2е2 + е3;
ж) Леї = ^(2еі + е2 - 2е3), Ae2 = ^|(ei + ез),
Ле3 = ^д(~еі + 4е2 + е3);
з) Ae1 = ^(ei + ег), Ле2 = ^(е2 + \/Зе3), Ле3 = -^=(е! - е3).
63.14. Определить, является ли унитарным оператор А 71-мерного унитарного пространства, действующий на векторы ортонормированного базиса ei,..., еп по формулам:
а) Леї = еі+їе2, *4е2 = геї; б) *4ex = еі+ге2, *4e2 = гех+е2;
в) Дві = ^т(2еі + іе2)) -4е2 = ^=(*еі + 2е2);
г) Леї - і(2Єі + (1 + 2г>2), Ле2 = ^(5еі - 2(1 + 2г)е2);
§&?. Унитарные операторы и матрицы
103
д) Ae1 = (Є1 +г'Є2)) *4е2 = 1,. -(Ze1 + е2 - гл/2е3)
Ae3 = ^(ei - ie2 + \/2е3);
е) Aex I/o. -(2геі + е2 - - 2ге3),
Ae3 - І(Єі -2ге2 + 2е3).
63.15. Линейный оператор А евклидова пространства переводит систему векторов, заданных в некотором ортонормиро-ванном базисе координатными столбцами аі,...,ап, в систему векторов, заданных в том же базисе координатными столбцами Ьі,...,Ьп соответственно. Проверить, является ли оператор А ортогональным, если:
а) O1 = (3,4)т, a2 = (1,3)г, b, = (5,0)т, Ь2 = (3, If;
б) в1 - (2,-If, а2 = (-1,1)т, U1 = (1,2)г, Ь2 = (1,1)т;
в) в1 = (1,2,2)г, а2 = (1,1,0)т, а3 = (0,1, -1)т, 6Х = (2,2,1)т, 62 = (0,1,1Г, Ь3 = (-1,1,0)т;
г) O1 = (2,2,2,2)т, а2 = (2,0,2,2)т, а3 = (2,2,0,2)т, а4 = (2,2,2,0)т, Ьг = (4,0,0,0)т, Ь2 = (З, -1,1,1)г, 63 = (3,1, "МГ, 64 = (3,1,1,-1)т.
63.16. Пусть А - матрица линейного оператора в некотором базисе, Г - матрица Грама этого базиса. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять матрица А для того, чтобы этот оператор был:
а) ортогональным (в евклидовом пространстве);
б) унитарным (в унитарном пространстве)?
Отдельно рассмотреть случай, когда базис ортонормированный.
63.17. Пусть А - матрица линейного оператора в ортонор-мированном базисе n-мерного евклидова (унитарного) пространства. Показать, что каждое из следующих условий необходимо и достаточно для ортогональности (унитарности) этого оператора:
а) столбцы матрицы A1 рассматриваемые как векторы Еп (Сп), образуют ортонормированный базис;
б) строки матрицы A1 рассматриваемые как векторы Еп (Сп), образуют ортонормированный базис.
63.18. Проверить, является ли ортогональным линейный
104 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
оператор, заданный в ортонормированном базисе евклидова пространства матрицей:
_J_ Г -3 -2 1 ,1 >/ЇЗ [ -2 3
а)
1 -1 1 1
б)
в)
0 1 1
-1 0 -1
-1 1
2 2 2 -1 -1 2
0
-1 2 2
д)
ж)
1
2 2
1 2
2 5 0 -2
5
2 2 1 -2 -2 1
0 -2 5
4 -3
63.19. Проверить, является ли унитарным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе унитарного пространства матрицей:
Ii і 1
а)
г)
1 + г -г —г 1-і
" 1 1 1 1
1 1 і -1 —г
2 1 -1 1 -1
1 —г -1 г
K-) Є Сх" уни-дважды стохасти-
63.20. Доказать, что если матрица А тарна, то В = {bkj) Є C"xn, где bkj = \akj\2, ческая матрица.
63.21. Доказать, что всякая матрица перестановок является унитарной матрицей.
63.22. Доказать, что если р(Х) - характеристический многочлен ортогональной матрицы порядка п, то Anp(l/A) = ±р(А).
63.23. Доказать, что каждый элемент унитарной матрицы равен по модулю своему дополнительному минору.
63.24. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров порядка fc, стоящих в произвольных к строках (столбцах) унитарной матрицы, равна единице.
63.25. Пусть угловой минор порядка к унитарной матрицы U по модулю равен единице. Доказать, что в таком случае U имеет квазидиагональный вид
Un О О U22
и
где CZ11 - клетка порядка к.
§63. Унитарные операторы и матрицы
105
A =
63.26. Пусть U — P + iQ - комплексная унитарная матрица порядка п. Доказать, что действительная матрица порядка 2п вида
P -Q Q P является ортогональной.
63.27. Доказать, что кронекерово произведение унитарных матриц UnV (имеющих, быть может, разный порядок) само является унитарной матрицей.
