Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Ax = O
3 -3 5 -5
Г 1 1
[ 0 0
о
0 1
О I о -1 о
Базис этого собственного подпространства образуют нормированные векторы ei = —^=(1,—1,0,0)т, Є2 = —^=(0,0,1,1)т. Нетрудно видеть, что эти
векторы ортогональны.
Собственное подпространство, отвечающее Л2 = 4, очевидно, одномерно, и соответствующий линейно независимый собственный вектор ез находится из системы
(А - А1)х = 0
1 5
5 1
3 3
-3 -3
-10 0 2 1 -1 0 1 1
1 т
Отсюда е3 =-(1,1,-1,1) .
Наконец, собственное подпространство, отвечающее A3 = 16, также одномерно и, решая систему
(А - Ш)х = 0
' -11 5 3 -3 0
5 -11 3 -3 0
3 3 -11 -5 0
-3 -3 -5 — 11 0
1-10 о 0-2 1-1 0 0 11
01
0
0
1 т
ПОЛУЧИМ Є4 = -(1,1,1,-1) .
Тем самым, матрица S преобразования подобия имеет вид
1
"7= 0
'у/2 0
0
о _1_
±
v/2
1
2 1
2
_ 1 2
1 2
1
2 1
2 1
2
_ 1 2
Так как векторы еі, Є2, ез, Є4 и, следовательно, столбцы матрицы S образуют ортонормированную систему, то S - ортогональная матрица. Поэтому S-1 =5Т.
Таким образом, получим
L1/2 = 5Л1/25Т =
0 0 12
0 0 12
0 0-1 2
0 0 1-2
3 1 -1
3 1 -1
1 3 -3
-1 -з 3
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы
121
ЗАДАЧИ
65.1. Может ли положительно определенный оператор H переводить ненулевой вектор X в вектор у, ортогональный К X?
65.2. Показать, что положительно определенный оператор не вырожден.
65.3. Пусть H - положительно определенный оператор евклидова пространства V. Показать, что для любого ненулевого вектора X Є V его образ образует с х острый угол.
65.4. Показать, что всякий оператор ортогонального проектирования является неотрицательно определенным оператором.
65.5. Пусть H и S - неотрицательно определенные операторы. Показать, что для любых неотрицательных чисел а и ? оператор OtH + ?S является неотрицательно определенным.
65.6. Пусть HnS- неотрицательно определенные операторы, и пусть для некоторых a0j?0 Є Ш оператор a0H + ?oS положительно определен. Показать, что в таком случае положительно опеределены все операторы аН + ?S, где а и ? - произвольные положительные числа.
65.7. Показать, что эрмитов оператор H является неотрицательно (положительно) определенным тогда и только тогда, когда для всякого положительного (соответственно неотрицательного) числа є оператор H + еХ не вырожден.
65.8. Пусть VmW- пара унитарных (или евклидовых) пространств и А - произвольный линейный оператор, действующий из V в W. Показать, что произведение А*А является неотрицательно определенным оператором, действующим в пространстве V, а произведение AA* - неотрицательно определенным оператором, действующим в пространстве W. Соответственно, для любой матрицы А Є Cnxm матрицы Ан А и ААН неотрицательно опеределены.
65.9. Доказать, что
rg А* А = rg AA* = rg А
65.10. Доказать, что операторы А*А и AA* положительно определены тогда и только тогда, когда оператор А обратим.
65.11. Пусть H - неотрицательно определенный оператор и (Hx1 х) = 0 для некоторого вектора х. Доказать, что:
а) X принадлежит ядру кет H оператора H]
б) оператор Н\Т, индуцированный на образе T = imH one-
122 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
ратора H1 является положительно определенным.
65.12. Что можно сказать о неотрицательно определенном операторе H1 если его след равен нулю?
65.13. Пусть H - комплексная положительно определенная матрица. Доказать, что матрица Hт также положительно определена.
65.14. Главной подматрицей квадратной матрицы называется матрица, составленная из элементов матрицы A1 стоящих на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Доказать, что любая главная подматрица неотрицательно (положительно) определенной матрицы сама является неотрицательно (соответственно положительно) определенной.
65.15. Главным минором квадратной матрицы А называется определитель соответствующей главной подматрицы. Показать, что в положительно определенной матрице все главные миноры положительны.
65.16. Угловым минором к-го порядка квадратной матрицы А называется главный минор, стоящий на пересечении строк и столбцов с номерами 1,2,..., к. Доказать следующий критерий Сильвестра положительной определенности: для того чтобы эрмитова матрица H была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры этой матрицы были положительны.
65.17. В неотрицательно определенной матрице H угловой минор порядка к равен нулю. Доказать, что равны нулю все угловые миноры порядка выше к.
65.18. Доказать, что в отрицательно определенной матрице H все главные миноры нечетного порядка отрицательны, в то время как все главные миноры четного порядка положительны.
65.19. Сформулировать и доказать критерий Сильвестра отрицательной определенности эрмитовой матрицы Н.
65.20. Доказать, что если е - какой-либо базис унитарного пространства V1 то матрица Грама этого базиса положительно определена.
65.21. Доказать, что если матрица А Є Cnxn положительно определена, то в любом n-мерном унитарном пространстве V матрица А является матрицей Грама некоторого базиса в V.
Для каждой из указанных ниже трехдиагональный матриц порядка п определить, является ли эта матрица положительно
