Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
64.3. Показать, что произведение ненулевого эрмитова оператора на число а будет также эрмитовым оператором тогда и только тогда, когда число а действительно.
64.4. Пусть А - линейный оператор, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве V. Проверить самосопряженность операторов:
а)Д + Л*; б) AA*] в) А* А;
г) i(A — А*) (если V - унитарное пространство).
64.5. Пусть Тії и Ti2 - самосопряженные операторы, действующие в унитарном (евклидовом) пространстве V. Доказать, что:
а) T-LiT-L2 + Ti2Hi - самосопряженный оператор;
б) T-LiH2 - самосопряженный оператор тогда и только тогда, когда операторы Тії и Ti2 перестановочны;
в) их коммутатор [Hi1Ti2] косоэрмитов (соответственно ко-сосимметричен).
64.6. Доказать, что проектирование унитарного (евклидова) пространства V на подпространство Li параллельно подпространству L2 будет самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда L1 и L2 ортогональны.
64.7. Доказать, что отражение унитарного (евклидова) пространства V относительно подпространства L1 параллельно под-
112 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
пространству L2 будет самосопряженным оператором тогда и только тогда, когда L1 и L2 ортогональны.
64.8. Описать все эрмитовы операторы, действующие в одномерном пространстве.
64.9. Линейный оператор А действует в двумерном евклидовом пространстве, причем для некоторой пары неколлинеарных векторов X и у выполнено
(Ах,у) = (х,Ау). Доказать, что А - симметрический оператор.
64.10. Показать, что оператор, действующий в геометрическом пространстве V3 по правилу Ах = [х, а], где а - заданный вектор, является кососимметрическим.
64.11. Оператор, действующий в пространстве E4 со стандартным скалярным произведением, переводит векторы /і = (0,1,1,1), /2 = (-1,0,1,1), /з = (-1, -1,0,1), и = (-і, -і, -і, о)
соответственно в векторы Qi = (3, —1, —1, —1), Q2 = (1, —3, —1, —1), д3 = (—1, —З, —1,1), #4 = (—3, —1, —1,1). Будет ли этот оператор симметрическим?
64.12. Показать, что операторы задачи 62.6 являются симметрическими в пространстве Mn со стандартным скалярным произведением.
64.13. Показать, что оператор, унитарный и эрмитов одновременно, или равен ±1, или является оператором ортогонального отражения.
64.14. Доказать, что если линейный оператор A1 действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, обладает любыми двумя из следующих трех свойств:
1) А - самосопряженный оператор;
2) А - унитарный (соответственно, ортогональный) оператор;
3) А - инволюция, т.е. А2 = X,
то он обладает и третьим свойством. Найти все классы операторов, обладающих всеми этими свойствами.
64.15. Выяснить, будет ли самосопряженным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе следующей матрицей:
а)
1 -1 1 1
б)
1 1 1 2
в)
1
-2 3
-3 7 2
г)
2 2 -1
2 -1 -1 2 2 2
164. Самосопряженные операторы и матрицы
113
64.16. Выяснить, будет ли самосопряженным линейный оператор, заданный в ортонормированном базисе унитарного пространства следующей матрицей:
а)
д)
1
б)
в)
5 і -г 1
г)
1
1
1 + і Зі
1
і О
г О
1 — 2»
е)
1 1-І
1 + t 3
О -і
64.17. Может ли матрица самосопряженного оператора в некотором базисе евклидова пространства быть несимметрической?
64.18. Найти ортонормированный базис е из собственных векторов и матрицу Ає в этом базисе для линейного оператора, заданого в некотором ортонормированном базисе матрицей:
а)
2 2 2 2
б)
1
2І
-2І 4
в)
11 2 -8 2 2 10 -8 10 5
г)
17 -8 -8 17 4 -4
4 -4 11
64.19. Привести указанные матрицы унитарно подобным преобразованием к диагональному виду:
З -i 0'
a) A =
3 2 + 2і 2-2і 1
;6)А--
3 2-і 2 + І 7
;в)А =
3
о
64.20. Показать, что в пространстве Спхп со стандартным скалярным произведением:
а) оператор умножения на заданную эрмитову матрицу (слева или справа) является самосопряженным;
б) оператор умножения на заданную косоэрмитову матрицу (слева или справа) является косоэрмитовым;
в) оператор эрмитова сопряжения является эрмитовым.
64.21. Пусть Hi и H2 - эрмитовы матрицы n-го порядка. Показать, что операторы TX = HiXH2 и QX = HiX + XH2 являются эрмитовыми.
64.22. Пусть А - матрица линейного оператора в некотором базисе, Г - матрица Грама этого базиса. Каким необходимым и достаточным условиям должна удовлетворять матрица А для того, чтобы этот оператор был:
а) симметрическим (в евклидовом пространстве);
б) эрмитовым (в унитарном пространстве)?
114 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
64.23. Линейный оператор А евклидова или унитарного пространства задан матрицей А в некотором базисе; Г - матрица Грама этого базиса. Определить, является ли оператор А самосопряженным, если:
a) A = в) A =
д) A =
е) A =
ж) A =
з) А =
T =
3 4 -2 -3
1 1
-1 -
,Г =
О О 2 О -3 -1
-1 2 ; ъ) A= ' -1 1
2 3' г) A = 0
3 5 > -2І
- ' 2 1 0 "
,г — 1 2 1
0 1 1
T =
' 2 Г
-і 1
1 о о
0-10 0 0 0
' 1 0 2 1 -1 -1 ООО
,г
1
-2І 2
0 0 -1 0 -Зі 2
,Г =
1 -1 -1 -1 2 -2 1 -2 3
" 1-1-1 -12 0 -1 0 3
