Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
62.33. Может ли нормальный оператор иметь неортогональный базис, составленный из собственных векторов?
62.34. Можно ли ввести скалярное произведение в пространстве многочленов Mn (n > 1) так, чтобы оператор дифференцирования V был нормальным оператором?
62.35. В пространстве многочленов Mn (n > 1) рассматривается оператор, действующий по формуле Af (t) = f(t + а), где а - некоторое заданное число. Можно ли задать скалярное произведение в Mn так, чтобы этот оператор был нормальным?
62.36. Пусть V - произвольное линейное пространство. Доказать, что, каков бы ни был оператор А Є C(V1 V) простой структуры, можно задать скалярное произведение в V так, чтобы А был нормальным оператором.
62.37. Оператор А арифметического пространства IR3 со стандартным скалярным произведением имеет в естественном базисе матрицу
"11 1 " 0 0 1 . 0 0 -1
Ввести скалярное произведение в ir3 так, чтобы оператор А был нормальным оператором.
62.38. Для каждого из следующих операторов, действующих в пространстве M3, выяснить, можно ли ввести в M3 скалярное произведение так, чтобы оператор стал нормальным, и, в случае положительного ответа, построить соответствующее скалярное произведение:
аМ/(*) = /(*-1); б) Af(t) = f(l-t); B)Af(t) = f(2-t); г) Af (t) = f(2t + 1); д) Af (t) = /(1 + t) + /(1 - t);
е) Af(t) = f(l-t) + f(2-t).
62.39. Доказать, что оператор А является нормальным тогда и только тогда, когда сопряженный оператор А* представляется многочленом от А.
62.40. Пусть А - нормальный оператор, действующий в евклидовом пространстве V1 причем А2 = —X. Доказать, что А* = -А.
62.41. Пусть а, Ъ Є IR и p(t) = t2 + at + Ъ- многочлен, не имеющий вещественных корней. Предположим, что А - нормаль-
94 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
ный оператор, действующий в евклидовом пространстве, причем р(А) = О. Доказать, что А* = —А — al.
62.42. Пусть А - нормальный оператор, действующий в евклидовом пространстве V1L- двумерное инвариантное относительно А подпространство в V1 причем А не имеет в L собственных векторов. Доказать, что подпространство L инвариантно относительно оператора А*.
62.43. Пусть А - нормальный оператор, действующий в двумерном евклидовом пространстве V1 причем спектр А пуст. Доказать, что в любом ортонормированном базисе пространства V матрица оператора А имеет вид
a —b b a
62.44. Доказать, что оператор А является нормальным тогда и только тогда, когда для каждого инвариантного подпространства L оператора А его ортогональное дополнение LL также инвариантно относительно А.
62.45. Доказать, что оператор А является нормальным тогда и только тогда, когда каждое подпространство, инвариантное относительно A1 инвариантно и относительно сопряженного оператора А*.
62.46. Пусть нормальный оператор А перестановочен с некоторым оператором В. Доказать, что:
а) А* перестановочен с B1 6) А перестановочен с В*.
62.47. Пусть нормальный оператор A1 действующий в п-мерном унитарном пространстве, имеет п различных собственный значений. Доказать, что любой оператор B1 перестановочный с A1 нормален.
62.48. Пусть А - комплексная нормальная матрица. Доказать, что существует такая нормальная матрица B1 что В2 = А.
62.49. Доказать, что перестановочные нормальные операторы А и В имеют ортонормированный базис из общих собственных векторов.
Показать, что указанные ниже матрицы А и В - нормальные и перестановочные, и построить для каждой пары ортонормированный базис из общих собственных векторов.
' 0 1 1" ' 0 1 -1"
62.50. А = 1 0 1 ,B = -1 0 1
1 1 0 1 -1 0
§62. Нормальные операторы и матрицы
95
' 2 2 -1" " 1 + 5« -2 + 2І 1 - г
62.51. А = 2 -1 2 ,5 = -2 + 2» 4 + 2г -2 + 2г
-1 2 2 1-і -2 + 2г 1 + 5г
62.52. Доказать, что если нормальные операторы А и В перестановочны, то нормальными будут и операторы А + В, AB и BA.
62.53. Пусть А и В - нормальные операторы, причем известно, что их образы ортогональны. Доказать, что А + В -нормальный оператор.
62.54. Доказать, что если операторы A1 В и AB нормальны и хотя бы один из операторов А или В имеет не только простые, но и различные по модулю собственные значения, то Л и В перестановочны.
62.55. Доказать, что если операторы A1 В и AB нормальны и хотя бы один из операторов А или В не имеет различных собственных значений одинакового модуля, то А и В перестановочны.
62.56. Привести пример нормальных операторов А и B1 для которых операторы AB и BA нормальны и различны.
62.57. Доказать, что комплексная матрица А = (а^) Є Cnxn нормальна тогда и только тогда, когда
/с J=I к=1
где Ai,..., An - все (с учетом кратности) собственные значения матрицы А.
62.58. Пусть А - нормальный оператор, действующий в п-мерном унитарном пространстве V1 и числа Ai,..., An являются собственными значениями оператора А с учетом их алгебраической кратности. Доказать, что А - нормальный оператор тогда и только тогда, когда
tr(.4\A) = x>fc|2.
к=1
62.59. Матрицы A1 В и AB нормальны. Доказать, что матрица BA также нормальна.
62.60. Спектральным радиусом р(А) оператора А называется максимальный из модулей его собственных значений A1,..., An:
