Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
-1-А -1
1 2 О
-2
1-А 2
-2 -2
О 1
IH-A -2-А
2 1
1-А 1
-2 -2-А
-2 -1
1 1
-1 -2-А
= (А + 1)2
1 -1 О
2 1 - А 1 О 0 1
-2 -2 -1
О 1
-1 -2-А
О
З-А О
-4
О 1 1
-1
О 2 О
-З-А
(А + 1)3(А-1).
Таким образом, собственными значениями являются числа Ai = — 1иА2 = 1 алгебраических кратностей mi = 3 и m2 = 1 соответственно.
Для нахождения собственных векторов, отвечающих собственному значению Ai = —1, необходимо решить систему
{A+ I)X = 0 [ 2 2 1 1 I 0 ].
Фундаментальная система решений этой системы еі = (1,—1,0,0)т, Є2 = (0,0,1,—1)т, ез = (1,0, —2,0)т образует базис собственного подпространства Wxi, откуда следует, что геометрическая кратность собственного значения Ai = — 1 равна трем и совпадает с его алгебраической кратностью
77Il.
Для нахождения собственных векторов, отвечающих собственному значению X2 = 1, необходимо решить систему
(А -1)х = 0
0 2 11
2 0 11
-2 -2 -З -1
-2 -2 -1 -3
-1 1
0
0 о
1 о -1 1
Фундаментальная система решений этой системы состоит из одного вектора Є4 = (1,1,—1,—1)т и образует базис собственного подпространства Wx2- Тем самым, геометрическая кратность собственного значения А2 = 1 равна единице и совпадает с его алгебраической кратностью тп2.
Согласно критерию теоремы 58.3 оператор А имеет простую структуру.
2. Как следует из теоремы 63.2, оператор А простой структуры с собственными значениями Ai = — 1 и А2 = 1 будет ортогональным, если его собственные векторы образуют ортонормированный базис.
100 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
Введем скалярное произведение так, чтобы базис еі, ег, ез, Є4, построенный выше, был ортонормированным.
Пусть два произвольных вектора х и у пространства V заданы вектор-столбцами своих координат в исходном базисе:
X = (xi,x2,X3,xa)t , у = (2/1,2/2,2/3,2/4 )Т-Разложим векторы х и у по базису е:
X = С*іЄі + а2Є2 + С*зЄз + С*4Є4, у = /?іЄі + /?2Є2 + /З3Є3 + /З4Є4
и введем скалярное произведение равенством
(я?, у) = с*і/?і +а2#2 +аз/Зз + а4/34. (63.2)
Очевидно, что в этом случае система ei, ег, ез, Є4 станет ортонормирован-ной.
Чтобы найти координаты вектора х = (жі, #2,яз,Е4)т в базисе е, решим систему:
1 0 1 1 Xl " -1 0 0 1 Х2
1 0 0 1 Х2 -> 0 1 -2 -1 хз
0 1 -2 -1 хз 0 0 1 2 Х\ H- Х2
0 -1 0 -1 Х\ 0 0 0 2 2х\ H- 2а?2 + х'з + Х4
2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 10
0 0 0 2
2х{ + Хз + Ж4
—2х\ — 2x2 — хз — 3X4
— Х\ — Х2 — Хз — Х\
2х\ + 2а?2 + #з H- #4
С*1 = El +
Хз + Х"4
аг з + 3x4
аг = —Ei — Х2
OL3 — —Х\ — Х2 — Хз — Ж 4,
Ез + Е4
Q4 = Xi + #2 H----.
Аналогичные соотношения (с заменой Xj на yj) имеют место для координат вектора у = (у і, 2/2, Уз, 2/4)Т в базисе е.
Окончательно из (63.2) получим формулу для скалярного произведения:
(ж, у) = (я?1 +
Ез + Е4
)(2/1 +
2/3+2/4 4/ . хз + Зх4 \ /
---J + (Ei + E2 + -г-J (У1 + 2/2 +
+ 2/з + Зу4^ + +^2-1-^3+- Е4)(2/1 + 2/2 + 2/3 + 2/4) + (ei + E2+
+
2
Ез + Е4
\ ( у _l 2/3 + 2/4 \
)(2/1+2/2 +-5-)•
ЗАДАЧИ
63.1. Доказать, что ортогональные (унитарные) операторы в пространстве C(V1V) образуют мультипликативную группу.
63.2. Образует ли подгруппу в группе всех ортогональных операторов, действующих в евклидовом пространстве:
а) подмножество операторов с определителем, равным 1;
§63. Унитарные операторы и матрицы
101
б) подмножество операторов с определителем, равным —1?
63.3. Пусть V - евклидово (унитарное) пространство, L - некоторое его подпространство. Образует ли подгруппу в группе ортогональных (унитарных) операторов подмножество операторов, для которых L является инвариантным подпространством?
63.4. Показать, что произведение унитарного оператора на число а является унитарным оператором тогда и только тогда, когда |а| = 1.
63.5. Описать все унитарные операторы, действующие в одномерном пространстве.
63.6. Определить, является ли ортогональным (соответственно, унитарным) оператор:
а) поворота плоскости V2 на угол а;
б) оператор, действующий в пространстве V3 по формуле Ax = [х, а], где а - заданный вектор;
в) оператор, действующий в пространстве Mn со стандартным скалярным произведением по правилу Af (t) = /(—?);
г) оператор, действующий в пространстве Mn со стандартным скалярным произведением по правилу Af (t) = tnf{t~l)\
д) оператор из пункта "в)", если скалярное произведение в Mn задано формулой (61.1) с a = —1, 6=1;
е) оператор из пункта "г)", если скалярное произведение в Mn задано формулой (61.1) со = —1, 6=1;
ж) оператор, действующий в пространстве emxn (Cmxn) со стандартным скалярным произведением по правилу TX = AX1 где А - заданная матрица порядка га;
з) оператор, действующий в пространстве Rmxn (Cmxn) со стандартным скалярным произведением по правилу TX = XB1 где В - заданная матрица порядка п.
63.7. Пусть А - нормальный оператор, действующий в трехмерном унитарном пространстве. Доказать, что если собственные значения A1, A2, A3 этого оператора, рассматриваемые как точки комплексной плоскости, не лежат на одной прямой, то оператор А можно представить в виде
А = olX + (ЛЯ,
