Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
р(А) = max |Afc|.
96 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
Обосновать следующую экстремальную характеристику спектрального радиуса нормального оператора А'.
1(Ax1 х)\ р(А) = max .
Что можно сказать о векторах, на которых достигается этот максимум?
62.61. Доказать, что имеют место следующие оценки для спектрального радиуса нормальной матрицы А n-го порядка:
а) р(А) > і п
б) P(A) > max \акк\.
1<к<п
J2 аы
62.62. Доказать, что для спектрального радиуса нормального оператора А справедлива формула
р(А) = max
хфв \х\
Всякий ли вектор X1 реализующий указанный максимум, будет собственным вектором оператора А ?
§63. Унитарные операторы и матрицы
Линейный оператор U, действующий в унитарном (евклидовом) пространстве, называется унитарным (соответственно ортогональным) оператором, если
LTU=UlT =1. Из определения вытекает, что
1) оператор U унитарен (ортогонален) тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет унитарную (соответственно ортогональную) матрицу;
2) для унитарного (ортогонального) оператора U
|detW| = 1;
3) для унитарного (ортогонального) оператора U
W = W"1;
4) унитарный (ортогональный) оператор нормален.
Теорема 63.1 (критерии унитарности). В унитарном (евклидовом) пространстве V следующие утверждения равносильны:
1) оператор U унитарен (ортогонален);
2) U0U = I;
3) UU* =1;
§63. Унитарные операторы и матрицы
97
4) оператор U сохраняет скалярное произведение, т.е.
{UxMy) = (яг, 2/), Vz,y€^;
5) оператор U изометричен, т.е. сохраняет длину:
\Ux\ = \x\, Vz Є V;
6) оператор U переводит любой ортонормированный базис V в ортонормированный базис;
7) оператор U переводит хотя бы один ортонормированный базис V в ортонормированный базис.
Следствие. Унитарный (ортогональный) оператор на любом своем инвариантном подпространстве индуцирует унитарный (соответственно ортогональный) оператор.
Теорема 63.2 (спектральная характеристика унитарного оператора). Нормальный оператор в унитарном пространстве унитарен тогда и только тогда, когда все его собственные значения по модулю равны единице.
Теорема 63.3. Если подпространство L инвариантно относительно унитарного (ортогонального) оператора U, то его ортогональное
дополнение LL также инвариантно относительно U.
Теорема 63.4. Для любого ортогонального оператора Q в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис е, в котором его матрица имеет квазидиагональную форму с клетками вида
Г cosip -sin^ 1 , ± ,
[ sin (f COS ip J L J
на главной диагонали: Г 1
1
Qe
О
О
COS(^i - sin ipi
sin lfi COS lfi
COS ipk - sin Vk
Sin ifk COS
(63.1)
Матрица (63.1) называется канонической формой матрицы ортогонального оператора.
Простым вращением называется оператор в евклидовом пространстве, который в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу вида
98 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
О
COS If — sin if
sin (f cosy?
0
1
Простым отражением называется оператор в евклидовом пространстве, который в некотором ортонормированном базисе имеет матрицу вида
1
О
-1
О
1
Теорема 63.5. Всякий ортогональный оператор может быть представлен как произведение некоторого числа простых вращений и простых отражений.
Пример 63.1. Линейный оператор А унитарного (евклидова) пространства переводит векторы базиса /i,..., Д» соответственно в векторы pi,...,дп. Показать, что оператор А унитарен (ортогонален) тогда и только тогда, когда матрицы Грама систем /i,..., /„ и pi,..., gn совпадают.
п п
Решение. Пусть X = ^^Xkfk и у = ^^yjfj - произвольные векторы
k=l j=l
пространства. Оператор А - унитарен (ортогонален) тогда и только тогда, когда он сохраняет скалярное произведение любой пары векторов. Так как
п п п
(х,у) = Xkyj~(fa,fj), {Ах,Ay) = ZkyJ(Afk,Afj) = ]Р zkyj{9k,g3),
kj = l k,j = l k,j = l
то унитарность (ортогональность) оператора равносильна равенству
п п п п
^kVjUkJj) = Xkyj~(9k,9j), = ^Txkfk, У = У^Уі/і,
kj = l /с J = I k = l j = l
что, как легко проверить, равносильно совпадению матриц Грама G(/i,...,/n) = G(gi,...,gn). ¦
Пример 63.2. Оператор А задан в некотором базисе четырехмерного пространства V матрицей
§63. Унитарные операторы и матрицы
99
Показать, что оператор А является оператором отражения, и ввести скалярное произведение в V так, чтобы оператор А был ортогональным.
Решение. 1. Покажем, что оператор А имеет простую структуру, а его спектр состоит из двух чисел: Ai = —1иА2 = 1. В этом случае пространство V разлагается в прямую сумму собственных подпространств Wx1 и W\2, отвечающих собственным значениям Ai = —1иАг = 1 соответственно. Отсюда непосредственно следует, что оператор А является оператором отражения в подпространстве Wx2 относительно Wx1 • Действительно:
Vz Є V : X = Xi H- х2, \ _^ л л , л
г- и/ г- и/ г Ax = Axі H- Ax2 = —Xi H- X2-
Xi Є Wx1,X2 Є Wx2 J
Итак, построим характеристический многочлен оператора А:
det(A - XI)
IH-A 1 - А О
-2
= (А+1)2
О 1
