Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
AA* = А* А.
Квадратная матрица А (комплексная или вещественная) называется нормальной матрицей, если
ААИ = АИА.
Из определения и теоремы 61.8 следует, что оператор нормален тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе его матрица нормальна.
Теорема 62.1. Собственный вектор нормального оператора, отвечающий собственному значению \, является собственным вектором сопряженного оператора, отвечающим собственному значению Л. Следствие. Если А - нормальный оператор, то
ker А = imJ~ А, кег A* = im1" А*.
Теорема 62.2. Собственные векторы нормального оператора, отвечающие различным собственным значениям, попарно ортогональны.
Теорема 62.3 (критерий нормальности). Оператор, действующий в унитарном пространстве, нормален тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора.
88 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
Следствие. В унитарном пространстве нормальный оператор А и его сопряженный Л* имеют общий ортонор мир о ванный базис из собственных векторов.
Теорема 62.4. Если любой собственный вектор оператора А, действующего в унитарном пространстве V, является собственным вектором сопряженного оператора А*, то Л - нормальный оператор.
Подобные комплексные (вещественные) матрицы А и В = Q-1AQ называются унитарно (соответственно ортогонально) подобными, если матрица преобразования подобия Q унитарна (соответственно ортогональна), т.е. если QHQ = QQH = I (соответственно QTQ = QQT = I).
Из определения следует, что две комплексные (вещественные) квадратные матрицы одинакового порядка унитарно (соответственно ортогонально) подобны тогда и только тогда, когда они являются матрицами одного и того же оператора в унитарном (соответственно евклидовом) пространстве в ортонормированных базисах.
Теорема 62.5 (матричная формулировка теоремы 62.3). Квадратная комплексная матрица является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице.
Пример 62.1. Найти ортонормированный базис из собственных векторов оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства матрицей
1 1-1-1
1 1-1-1 -1-111 -1-111
Решение. Так как базис, в котором задана матрица оператора, ортонормированный, то нормальность оператора следует из того, что А - нормальная матрица, т.е. АТА = ААТ (последнее равенство очевидно в силу симметричности матрицы А: Ат = А).
Построим характеристический многочлен матрицы А:
det(A - XI) =
1-А 1 -1 -1
1 1-А —1 -1
-1 -1 1-А 1
-1 -1 1 1-А
{вычтем из 1-й 1 строки 2-ю, а из > = 3-й строки 4-ю J
-А А 0
1 1-А -1
0 0 -А
-1 -1 1
о
-1
А
1-А
прибавим ко 2-му столбцу 1-й, а к 4-му столбцу 3-й
= Л2
2-А -2 -2 2-А
1 -1 0 0
1 1-А -1 -1
0 0 1 -1
-1 -1 1 1-А
1 0 0 0
1 2-А -1 -2
0 0 1 0
-1 -2 1 2-А
= (- А)3(4- А).
Отсюда следует, что собственными значениями матрицы А являются числа Ai = 4 и А2 = 0 алгебраических кратностей 1 и 3 соответственно.
§62. Нормальные операторы и матрицы
89
Для нахождения собственных векторов, отвечающих Ai = 4, решим систему уравнений (А — 4/)я = 0:
-3 1 -1 -1 0 '
1 -3 -1 -1 0
-1 -1 -3 1 0
-1 -1 1 -3 0
-11 0 0 0 2 11 0 0-11
Этой системе удовлетворяет единственный линейно независимый вектор
/, = (-1,-1,1,1)т.
Для нахождения собственных векторов, отвечающих А 2 = 0, требуется решить систему Ax = 0:
[і і -і -і I о ].
Этой системе удовлетворяют три линейно независимых вектора. Для того, чтобы эти векторы были взаимно ортогональными, будем находить их последовательно.
Возьмем в качестве первого решения вектор /2 = (1,—1,1,—1)т, а второе решение /з будем искать так, чтобы оно было ортогонально вектору J2:
Ax = 0, (Xj2) = 0
-1 -110 1 1-10
1 ^ [1 1-1
J ^ [ 0 —2 2
-1 -110
о о
Г 1 1 -1 -1 0 1 Г 1 1 -1 -1 0 I
0 -2 2 0 0 -> 0 -1 1 0 0
1 1 1 1 0 0 0 1 1 0
Последней системе удовлетворяет, например, вектор /з = (1,1,1,1)т.
Аналогичным образом третье решение /4 будем искать так, чтобы оно было ортогонально векторам /2 и /3:
{Ax = 0, (Xj2) = 0, (Xj3) = 0
Последней системе удовлетворяет единственный линейно независимый век-
ТОр /4 = (1,-1,-1,1)7".
Итак, вектор /і образует базис собственного подпространства Wx1, отвечающего собственному значению Ai = 4, а векторы /2, /з, /4 - ортогональный базис собственного подпространства Wx2, отвечающего собственному значению X2 = 0. В силу теоремы 62.2 объединение этих базисов дает ортогональный базис всего пространства. После нормировки получим искомый ортонормированный базис из собственных векторов:
ei
ез =
_ 1 _1 1 lY 2' 2'2'2/ 1 1 1 1\Т 2'2'2'2J '
є2
е4
(і _i I _iY
\2' її 1) '
(і _i _i iV
^2' 2' 2' 2J "
ЗАДАЧИ
62.1. Показать, что всякий скалярный оператор унитарного (евклидова) пространства является нормальным.
90 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
62.2. Показать, что если А - нормальный оператор, то нормальными будут также операторы:
а) a А для любого числа а Є С;
б) Ак при любом натуральном fc;
в) f(A) для любого многочлена /(?);
