Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 26

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 87 >> Следующая

в) если f(t) = Ci0 +ait + .. . + amtm - произвольный многочлен,
то
где f(t) = Щ + a{t + ... + a^tm.
61.16. Доказать, что свойства, перечисленные в предыдущей задаче, выполняются и для операции сопряжения на множестве квадратных матриц А (комплексных или вещественных).
61.17. Показать, что для нильпотентного оператора А с индексом нильпотентности q сопряженный оператор А* также нильпотентен и имеет тот же индекс нильпотентности.
61.18. Показать, что если операторы А и В перестановочны, то перестановочны и сопряженные операторы А* и В*.
61.19. Что представляет собой сопряженный оператор для:
а) тождественного оператора;
б) скалярного оператора в евклидовом (унитарном) пространстве;
в) произвольного оператора, действующего в одномерном евклидовом пространстве;
г) произвольного оператора, действующего в одномерном унитарном пространстве?
61.20. Пусть ei,..., еп - ортогональный (но не ортонормированный) базис пространства V. Найти связь между матрицами оператора А Є C(V1V) и сопряженного оператора А* в этом базисе. В каком случае выполнено соотношение (А*)е = ?
-6
[f(A)Y = f(A'),
§61. Сопряженный оператор
79
61.21. Что можно сказать об операторе А Є C(V, V), если в любом базисе е пространства V выполнено соотношение:
(A*)e = (Ae)»?
61.22. Пусть е,д и /, h - пары биортогональных базисов в пространствах VnW соответственно. Доказать, что справедливо соотношение
(А'),к = {A,.)".
61.23. Пусть V, W - унитарные (евклидовы) пространства, еь ..., еп и Z1,..., /ш - ортонормированные базисы VnW соответственно и А Є C(V,W). Доказать, что имеют место равенства:
п
а) A*f, = 52(Ъ,Ае{)еи Vj = TTm;
Tl / TTl ч
б) А'Х = ДеОк, VX Є W.
i=l ^j = I '
61.24. Найти сопряженный оператор для оператора поворота геометрического пространства V2 на угол а.
61.25. Найти сопряженный оператор для оператора, действующего в пространстве V3 по правилу Лх = [х, а], где а -заданный вектор.
61.26. Найти оператор, сопряженный линейному функционалу /, действующему в унитарном пространстве V по правилу:
а) f(x) = (х, К), где h Є V - заданный вектор;
JTi
б) f(x) = ^T(AkX, hk), где hk Є V, к = l,m, - заданные
векторы, Ak Є C(V, V) - заданные операторы.
61.27. Оператор, действующий в n-мерном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением, задан формулой Ax = Bx, где В - заданная матрица порядка п. Найти сопряженный оператор А*, если пространство:
а) вещественное Rn; б) комплексное Сп.
61.28. Найти оператор, сопряженный к оператору, действующему в евклидовом (унитарном) пространстве матриц ]Rmxn (Cmxn) со стандартным скалярным произведением и определенному равенством:
a) TX = АХ, где А - заданная квадратная матрица порядка
80 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
га;
Q) QX = XB1 где В - заданная квадратная матрица порядка
Щ
в) CX — [A1 X]1 где m = п и А - заданная квадратная матрица порядка п.
61.29. Пусть скалярное произведение в пространстве Mn задано формулой (61.1) с произвольными а,Ь Є Ш: a < Ь. Для линейного оператора, действующего по правилу
Ap{t) = f K{t1s)p(s)ds1
J a
n
где jRT(?,s) = ^2tjkj(s) и kj(s) Є M711 найти сопряженный опера-
J=O
тор.
61.30. Пространство V является прямой суммой подпространств L1 и L2. Доказать, что:
а) оператор, сопряженный проектированию пространства V на L1 параллельно L2, является оператором проектирования на L^ параллельно L^;
б) оператор, сопряженный отражению пространства V относительно L1 параллельно L2, является оператором отражения относительно L^ параллельно L^.
61.31. Найти оператор, сопряженный оператору А геометрического пространства V2, если:
а) А - ортогональное проектирование на линейную оболочку вектора а ф 0;
б) А - ортогональное отражение относительно линейной оболочки, натянутой на вектор а ф 0.
61.32. Пусть Оху - прямоугольная система координат на плоскости и А - оператор проектирования на ось Ox параллельно биссектрисе первой и третьей четверти. Найти сопряженный оператор Л*.
61.33. Пусть Охуz - прямоугольная система координат в пространстве и А - оператор проектирования на координатную плоскость Оху параллельно прямой, задаваемой уравнениями X = у = z. Найти сопряженный оператор А*.
Матрица сопряженного оператора
61.34. Пусть е1}е2 - ортонормированный базис двумерно-
§61. Сопряженный оператор
81
го пространства V и линейный оператор А в базисе /х = Єї,
/ , л Г 1 2 "
/2 = ?i + ^2 имеет матрицу Л/ =
1 -1
Найти матрицу
сопряженного оператора А * в том же базисе /i, /2.
61.35. Линейный оператор А евклидова пространства в базисе из векторов fi = (1,2,1), /2 = (1,1,2), /3 = (1,1,0) задан матрицей
11 3 0 5-1 2 7-3
Af =
Найти матрицу сопряженного оператор А* в том же базисе /, считая, что координаты векторов даны в некотором ортонорми-рованном базисе.
61.36. Найти матрицу линейного оператора А*, сопряженного к оператору А в ортонормированном базисе еі,е2,е3, если А переводит векторы ui = (0,0,1), а2 = (0,1,1), а3 = (1,1,1) в векторы 6i = (1,2,1), b2 = (3,1,2), b3 = (7,-1,4) соответственно (координаты всех векторов считаются заданными в базисе ei,e2,e3).
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed