Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
г) Л-1, если А невырожден;
д) Л*.
62.3. Показать, что всякий линейный оператор, действующий в одномерном унитарном (евклидовом) пространстве, является нормальным оператором.
62.4. Показать, что оператор поворота на плоскости V2 является нормальным оператором.
62.5. Показать, что оператор, действующий в пространстве V3 по формуле Лх = [х, а], где а - заданный вектор, является нормальным.
62.6. Показать, что в пространстве многочленов Mn с естественным скалярным произведением следующие операторы являются нормальными:
а) /(*) -»• /(-і); 6)/(0-^-/(*"1).
62.7. Доказать, что всякий циркулянт2 является нормальной матрицей.
62.8. Привести примеры, показывающие, что сумма А +В и произведение AB нормальных операторов А и В в общем случае уже не будут нормальными операторами.
62.9. Привести примеры, показывающие, что в неортогональном базисе матрица нормального оператора: а) может не быть нормальной; б) может быть нормальной.
62.10. Пусть A = B + iC - комплексная нормальная матрица порядка п. Доказать, что действительная матрица D порядка 2п вида
В -С С В
D =
также является нормальной.
62.11. Доказать, что вещественная нормальная матрица ортогонально подобна квазидиагональной матрице с диагональными клетками первого и второго порядков.
2Cm. задачи 57.68, §57 и 58.68, §58.
§62. Нормальные операторы и матрицы
91
62.12. Доказать, что если строки и столбцы нормальной матрицы рассматривать как векторы арифметического пространства с естественным скалярным произведением, то:
а) длина fc-й строки равна длине к-го столбца;
б) скалярное произведение fc-й и j-й строк равно скалярному произведению j-ro и fc-ro столбцов (в указанном порядке).
62.13. Доказать, что квазитреугольная нормальная матрица обязательно является квазидиагональной.
62.14. Доказать, что сумма квадратов модулей всех миноров порядка fc, выбранных из строк нормальной матрицы А с номерами ji,..., jk, равна аналогичной сумме для столбцов с теми же номерами.
62.15. Доказать, что кронекерово произведение нормальных матриц А и В (имеющих, быть может, разный порядок) само является нормальной матрицей.
62.16. Пусть А и В - нормальные матрицы п-го порядка. Доказать, что операторы TX — AXB и QX = AX + XB являются нормальными операторами пространства Cnxn (IRnxn).
62.17. Доказать, что если А - нормальный оператор, то:
кег А* = кет А, im А* = im А.
62.18. Доказать, что оператор A1 действующий в унитарном или евклидовом пространтве V1 нормален тогда и только тогда, когда для всякого вектора х справедливо равенство
\Ах\ = \А*х\.
62.19. Доказать следующее утверждение: для того чтобы оператор A1 действующий в унитарном пространстве, был нормальным, необходимо и достаточно, чтобы для любого числа А образ и ядро оператора А — AI были ортогональны. Верно ли аналогичное утверждение в евклидовом пространстве?
62.20. Доказать, что оператор проектирования V на подпространство Li параллельно L2 является нормальным тогда и только тогда, когда подпространства Li и L2 ортогональны, т.е. когда оператор V является оператором ортогонального проектирования.
62.21. Доказать, что оператор TZ отражения относительно подпространства L1 параллельно L2 нормален тогда и только тогда, когда подпространства Li и L2 ортогональны, т.е. когда оператор TZ является оператором ортогонального отражения.
62.22. Доказать, что в любом подпространстве L унитарно-
92 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
го пространства, инвариантном относительно нормального оператора A1 существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора А.
62.23. Показать, что собственные подпространства нормального оператора попарно ортогональны.
62.24. Пусть е - собственный вектор нормального оператора А. Доказать, что подпространство L1 состоящее из всех векторов, ортогональных е, инвариантно относительно А.
62.25. Доказать, что любая вещественная нормальная матрица ортогонально подобна квазитреугольной матрице с диагональными клетками первого и второго порядков (ср. с задачей 62.11).
Показать, что указанные ниже матрицы являются нормальными, и для каждой из них найти ортонормированный базис из собственных векторов.
0 2 1 62.27. -2 0 -2
-12 0
62.26.
62.28.
2-і -1 0
-1 1-і 1
0 1
2-і
62.29. Доказать, что матрица
1 1
A =
1
-1 1
-1
1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1
унитарно подобна диагональной, и найти соответствующую матрицу преобразования подобия U.
62.30. Доказать, что две нормальные матрицы одного порядка унитарно подобны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые характеристические многочлены. Верно ли это утверждение для матриц, не являющихся нормальными?
62.31. Доказать, что две нормальные матрицы п-го порядка унитарно подобны тогда и только тогда, когда tr Ак = tr Вк для всех к = I1U.
62.32. Доказать, что если оператор, действующий в унитарном пространстве, одновременно нормальный и нильпотентный, то он нулевой. Верно ли это утверждение для оператора, дей-
§62. Нормальные операторы и матрицы
93
ствующего в евклидовом пространстве?
