Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 25

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 87 >> Следующая

- при j = 2
(Pei,e2) = О, (Pe2,е2) = О, (Pe3,е2) = 4/3;
- при j = 3
(Pex, е3) = О, (Pe2,ез) = 2/3, (Pe3,е3) = О. Решая все три системы одновременно:
2 0 2/3 О 2/3 О 2/3 О 2/5
ООО 2 0 2/3 О 4/3 О
получим an = 0, a2i = 3, азі = 0, ai2 = —5/2, а22 = 0, аз2 = 15/2, a\3 = О, агз = 1, Ct33 = 0. Таким образом,
О -5/2 О 3 0 1 О 15/2 О
Пользуясь полученной матрицей, установим, как действует сопряженный оператор Р* на произвольный многочлен f(t) = ao + ait + a2t2 Є M2: Vf(t) = a0V*ei{t) + aiP*e2(*) + a2V*e3(t) =
5 15 5 15
= a0 -3*+ ai(- - + — t2) +a2t = --aY + (3a0 + a2)t + — ait2. -
ЗАДАЧИ
Задание линейного оператора в евклидовом (унитарном) пространстве
61.1. Пусть VnW- унитарные (евклидовы) пространства, Ли В - линейные операторы из C(V, W). Доказать, что если для любых X Є V1 у Є W выполнено
(Ax ,у) = (Bx,у), то операторы А и В совпадают.
61.2. В унитарных (евклидовых) пространствах VnW фиксированы некоторые базисы ег, ..., еп и Д,..., /ш соответственно. Пусть для линейных операторов А Є C(V, W) и В Є C(W1V) выполнены соотношения
(Леи fj) = (е{1 BJj)1 і = 1, Ti1 j = 1, m. Доказать, что в таком случае А* = В.
61.3. Линейный оператор А Є C(V1W) переводит ортонормированный базис ei,..., еп пространства V в систему векторов /х,..., /п из W. Доказать, что:
76 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
a) Ax = 5>, єі)/і, Vx є У; б) А'у = *>>, Л)е„ Vy є W.
г=1 г=1
61.4. Пусть оператор А действует в евклидовом (унитарном) пространстве V. Доказать, что
п г=1
для любого ортонормированного базиса ei,..., еп рассматриваемого пространства V.
61.5. Пусть ei..., ек - ортонормированный базис подпространства L евклидова пространства V. Используя скалярные произведения (у, ei),..., (у, efc), найти образ произвольного вектора у Є V для оператора:
а) ортогонального проектирования на подпространство L;
б) ортогонального проектирования на подпространство Lx;
в) ортогонального отражения относительно подпространства
ц
г) ортогонального отражения относительно подпространства
LL.
61.6. Подпространство L задано системой уравнений: (х, ei) = 0,..., (х, ек) = О, где ei,..., ек - некоторая ортонорми-рованная система векторов. Найти, используя скалярные произведения (у, ei),..., (у, ек), образ произвольного вектора у Є V для оператора:
а) ортогонального проектирования на подпространство L;
б) ортогонального отражения относительно подпространства
61.7. В естественном базисе е пространства IR4 найти матрицу оператора ортогонального проектирования на линейное подпространство L, если L натянуто на систему векторов:
a) (2,3,-1,1)3-; 6)(1,2,1,-2)7*;
в) (1,-1,2,0)7*, (-1,1,1,3)7*; г) (1,1,1,1)7*, (0,1,1,0)7*;
д) (1,1,-1,0)7*, (0,1,1,-1)^,(-1,1,0,1)7*;
е) (0,1,0,1)7*, (1,0,3,0)7*, (0,1,-1,-1)7*.
61.8. В базисе е найти матрицу оператора ортогонального отражения относительно подпространств L, заданных в задаче 61.7.
61.9. Линейное подпространство L четырехмерного евкли-
§6L Сопряженный оператор
77
дова пространства E в некотором ортонормированном базисе е задано системой уравнений. Найти в том же базисе матрицу оператора ортогонального проектирования на L1 если:
a) L : X1 + х2 + X3 + х4 = 0; б) L : { + ^ == °|
{X1 + 2х2 — X3 + X4 = 0, Xx+ X2 + 2х3 - X4 = 0, X1 + Зх2 - 4х3 + Зх4 = 0;
{X1 + X2 + X3 — X4 = 0, #1 - #2 + #3 + #4 = 0, X1 + X2 — X3 — 2х4 = 0.
61.10. В условиях задачи 61.9 найти в базисе е матрицу оператора ортогонального отражения пространства E относительно указанных подпространств L.
61.11. ПуСТЬ СИСТеМЫ ВеКТОрОВ /i,...,/m И Si,..., Qm УДО-
влетворяют условиям (/»,Sj) = 0, i,j = l,m, і ф j. Пусть L\ = C(fi,..., Jm)1 а подпространство L2 задано системой уравнений (x,gi) = 0,..., (x,gm) = 0. Найти через скалярные произведения ВеКТОрОВ у, /i, . . . , /m, ft, . . . , <7т ОбрЭЗ ПРОИЗВОЛЬНОГО
вектора у Є V для оператора:
а) проектирования на L1 параллельно L2;
б) отражения относительно L1 параллельно L2.
m
61.12. Оператор А задан формулой Ax = ^(#,/t)ffi, где
г=1
Ji) • • •) Jm) gi) • • • )Pm ~ некоторые заданные векторы. Доказать, что:
а) ядро оператора А представляет собой ортогональное до-
m
полнение линейной оболочки, натянутой на векторы y^(ffbffi)/i>
_ г=1
fc = 1,га;
б) образ оператора Д является линейной оболочкой, натяну-
m
той на векторы ^(Д, /Oft» fc = l,m.
г=1
61.13. Показать, что всякий линейный функционал /(х) унитарного (евклидова) пространства V можно задать как скалярное произведение
/(ж) = (X7P)1
где р - некоторый фиксированный (для данного функционала)
78 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
вектор пространства.
61.14. Пусть п Є N. Доказать, что для любого к = 0, п, любых чисел a, Ь, Є R можно указать многочлен Pk(t) Є M711 что равенство
выполняется для всех многочленов f(t) Є Mn. Сопряженный оператор
61.15. Доказать, что для оператора A1 действующего в унитарном (евклидовом) пространстве, выполнено:
а) (AmY = (А*)т для всякого т Є N;
б) если оператор А невырожден, то свойство пункта а) имеет место для любого целого числа га;
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed