Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 61.4. Если е и f - ортонор мир о ванные базисы пространств VuW соответственно, то
(A')./ = (Afe)H.
Следствие. TgA = TgA*. Теорема 61.5. Для любого оператора А Є C(V,W)
кет А = (im Л*)-1, im А* = (кет A)^.
Два базиса ei,..., еп и /і,..., fn пространства V называются биорто-гоналъной парой базисов, если (ei,fj) = Sij, где оТ,- - символ Кронекера.
Теорема 61.6. Для любого базиса ei,... , еп унитарного (евклидова) пространства существует, и притом единственный, биортогональ-ный базис fi,..., Jn.
Теорема 61.7. В паре биортогоналъных базисов ей} унитарного (евклидова) пространства V матрицы операторов AuA* связаны соотношением
{A'), = (Ае)н.
Теорема 61.8. Для любого оператора А, действующего в пространстве V (унитарном или евклидовом):
1) если е - ортонор мир о ванный базис V, то
(А')е = (Ae)";
§6J. Сопряженный оператор
73
2) выполнены равенства
det A* = det А, rg A* = rg А;
3) если подпространство L инвариантно относительно оператора А, то его ортогональное дополнение инвариантно относительно сопряженного оператора А*.
Теорема 61.9 (теорема Шура). Для любого оператора, действующего в унитарном пространстве, существует ортонормир ованный базис, в котором он имеет треугольную матрицу.
Следствие. Если Ai,..., An - собственные значения оператора А, то собственными значениями оператора А* будут числа Ai,..., An.
Ортонормированный базис унитарного (евклидова) пространства, в котором матрица линейного оператора имеет треугольную форму, называется базисом Шура для этого оператора.
Пример 61.1. Найти сопряженный оператор для оператора А, действующего в геометрическом пространстве V3 по правилу: Ax = [х, а], где а - фиксированный вектор.
Решение. Покажем, что А* = —А. С одной стороны, для любых векторов х, у Є V3'- (Ах, у) = (х, А* у). С другой стороны:
{Ах, у) = ([х, а], у) = (х, а, у) = -(х, у, а) = -(х,-[у, а]) = (х,-Лу).
Таким образом, (х,А* у) = (х, —Лу), Vx, у Є V3, следовательно (задача 61.1), А* = -А. •
Пример 61.2. Линейный оператор А переводит векторы bi = (2,3,5), Ь2 = (0,1,2), Ьз = (1,0,0) в векторы C1 = (1,1,1), C2 = (1,1, -1), C3 = (2,1, 2) соответственно. Найти матрицу оператора Л* в ортонормированном базисе сі, Є2, ез, в котором заданы координаты всех векторов.
Решение. Заметим, что векторы fti, Ь2, Ь3 линейно независимы, следовательно, оператор Л определен однозначно. Легко показать (см. пример 52.10 §52), что Ае = CB~l, где столбцы матрицы В и С состоят из fci, Ъ2, Ъ3 и ci, с2, с3 соответственно. Использование метода Жордана (§8) обращения матрицы дает матрицу
Ае =
2 -11 6 1 -7 4 2-10
Так как ei, е2, е3 - ортонормированный базис, то (А*)е = (Ае)т, т.е.
Г 2 1 2 (Д*)е= -11 -7 -1 6 4 0
Пример 61.3. 1 Написать уравнения гиперплоскостей, инвариантных относительно линейного оператора Л, заданного в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства матрицей
4 -23 17 11 -43 30 15 -54 37
1Cp. с примером 59.8, §59.
74 Глава ХУ1.Линейные операторы в унитарном пространстве
Решение. Все двумерные подпространства, инвариантные относительно оператора Л, являются ортогональными дополнениями к одномерным инвариантным подпространствам оператора А*, т.е. линейным оболочкам С(е) собственных векторов е оператора А . Найдем собственные значения матрицы Ат:
4-А -23 17
11
-43 - А 30
15 -54 37-А
прибавим к 1-й строке 2-ю и 3-ю строки
-2-А —2 — А —2 — А -23 -43 -А -54 = -(А + 2)(А2 + 3). 17 30 37 -А I
Таким образом, оператор А* имеет единственное собственное значение А = —2, которому отвечает единственный линейно независимый собственный вектор е = (З, —3,1). Искомое инвариантное подпространство, являясь ортогональным дополнением к ?(е), определяется уравнением
Зхі — 3x2 H- хз = 0.
Пример 61.4. В пространстве Мг многочленов степени не выше 2 скалярное произведение задано формулой
J a
f(t)g(t)dt,
(61.1)
причем а = — 1, Ъ = 1. Найти оператор V*, сопряженный к оператору V дифференцирования в Мг.
Решение. Рассмотрим в пространстве Мг естественный базис e\(i) = 1, Є2(і) = і, ез(?) = t2. Нетрудно показать, что этот базис не является даже ортогональным базисом относительно введенного в этой задаче скалярного произведения (например, (еі,ез) = 2/3 ф 0). Поэтому для матриц De оператора V и (D*)e сопряженного оператора V* равенство (V*)e = Djвообще говоря, не справедливо.
Для построения матрицы (D*)e воспользуемся соотношением:
(Va,ej) = (ei,Vmej) = ^akj(ei,ek), i,j = 1,3,
(61.2)
k=i
где CZT)6 = (akj). _
При каждом j = 1,3 соотношения (61.2) с і = 1,2,3 образуют систему линейных уравнений относительно неизвестных aij, Q2j, ct3j с квадратной матрицей коэффициентов, совпадающей с матрицей Грама базиса еі,Є2,ез, и следовательно, (теорема 47.5 §47) невырожденной. Поэтому эта система уравнений совместна и определенна при любых правых частях.
Матрица Грама базиса еі,Є2,ез равна
2 0 2/3 0 2/3 0 2/3 0 2/5
Правые части систем имеют вид:
§6L Сопряженный оператор
75
- при J = I
(Vei,a) = О, (Ve2,ei) = 2, (Ve3,ei) = О;
