Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
Aj =
¦ -1 1 0 о ¦
0 -1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1 .
Пример 60.6. Найти канонический базис и жорданову форму матри-
цы
Г 2 і 1 0 0 1
0 4 2 1 1
0 -2 0 0 -2
0 0 0 5 -3
0 0 0 3 -1
Решение. Характеристический многочлен матрицы А в силу ее квазитреугольной структуры равен:
/(Л) = det(A - XI) = (2 - Л)
4-А 2 -2 -Л
5-А -3 3 -1-А
(2 - А)5.
Следовательно, А = 2 - единственное собственное значение матрицы А алгебраической кратности 5. Отвечающее ему корневое подпространство К\ имеет размерность 5.
Для построения корневого подпространства К\ рассмотрим матрицу
А-21
Г 0 1 1 0 0 "I
0 0 2 1 1
0 -2 -2 0 -2
0 0 0 3 -3
0 0 0 3 -3
и изучим ядра Nk = keiBk. 1. Nn Bx = O.
58
Глава XV.Структура линейного оператора
Эта система равносильна системе дует, что пі
из которой сле-
dim TVi = 2 и общее решение системы имеет вид
{X2 = ~Х3, Х4 = Х5 = 0, Vx1)X3 Є Ш.
Так как U1 < 5, то TVi ф Kx, и следовательно, необходимо перейти к N2.
2. N2: В2х = 0, где В2 =
Г О О О О О
1 8 -8 О О
-1 -8 8 О О
Следовательно,
подпространство N2 описывается уравнением
Х\ = Xb
при любых X1,х2,хз,хь, и, кроме того, Ti2 = dimN2 = 4. Так как п2 < 5, то N2 ф Kx, и следует перейти к N3.
3. N3: B3X = О, где В3 = О. Отсюда вытекает, что пз = 5
dim Ад и решением системы
является любой вектор (#1, X2, Хз, X4, Xs) Є IR .
Тем самым, корневое подпространство К\ построено и цепочка вложений имеет вид:
N1 С N2 С N3 = Kx. Построим теперь канонический базис Kx.
Так как п3 — n2 = 1, то единственный корневой вектор J1 высоты 3 должен дополнять какой-либо базис N2 до базиса N3:
X1 X2 X3 Х4 Xb
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0 N2
0 1 0 0 0 N3
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 h
Корневой вектор /i = (0,0,0,0,1)т порождает корневой вектор Bf1 =
(0,1, —2, —3, —3)т высоты 2 и корневой вектор В2 J1 = (—1, —8,8,0,0Т высоты 1.
Так как U2-U1 = 2, то необходимо построить два корневых вектора Q1, д2 высоты 2, дополняющих какой-либо базис TVi до базиса N2. В качестве возьмем уже имеющийся вектор Bf1, а вектор д2 найдем аналогично тому, как это было сделано выше:
X1 X2 X3 Х4 Хь
0 1 1 0 -1 0 0 0 0 0 N1 N2
0 1 -2 -3 -3 Bh
0 0 1 0 0 92
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
59
Корневой вектор г/2 = (0,0,1,0,0)т порождает корневой вектор Bg2 = (1,2,-2,0,0)т высоты 1.
Так как п\ = 2, то базис TVi состоит из двух корневых векторов высоты 1. Такие векторы уже построены: В2 f\ и Вд2, поэтому все векторы, входящие в канонический базис, найдены.
Жорданова "лестница" имеет вид:
N3 h = (0,0,0,0,1)г
N2 Bf1 = (0,1, -2, -3, -3)т, д2 = (0,0,1,0,0)т
N1 B2h = (-1,-8,8,0,0)т, Bg2 = (1,2,-2,0,Of
поэтому векторы канонического базиса нумеруются так:
ei = B2j\, е2 = Bfi, е3 = /і, Є4 = Bg2, е5 = р2, а жорданова форма матрицы А состоит из двух клеток размеров 3 и 2:
¦ 2 1 0 0 0 ¦
0 2 1 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 2 1
. 0 0 0 0 2 .
Матрица T преобразования подобия (T 1 AT = Aj) имеет вид
г -1 0 0 1 0 1
-8 1 0 2 0
T = 8 -2 0 -2 1
0 -3 0 0 0
0 -3 1 0 0
ЗАДАЧИ
60.1. Доказать, что корневой вектор высоты 1 является собственным вектором.
60.2. Пусть / - корневой вектор оператора А, отвечающий собственному значению А; и имеющий высоту q (q > 0). Доказать, что:
а) вектор (А — AjX) / имеет высоту q — 1;
б) вектор (А — AjX)/, где Xj - отличное от A^ собственное значение оператора A1 имеет высоту q\
в) если Aj - корень многочлена /(А) кратности / < д, то вектор f(A)f имеет высоту q — I1
г) если А обратим, то вектор A~lf имеет высоту q]
д) если В - оператор, перестановочный с Л, то высота вектора Bf не превосходит q.
60
Глава XV.Структура линейного оператора
60.3. Пусть /1,/2- корневые векторы оператора A1 отвечающие одному собственному значегіию А; и имеющие ненулевые высоты qi и q2) причем qx > q2. Доказать, что для любого числа а вектор /i + а/2 также является корневым, причем его высота равна qi.
60.4. Доказать, что в корневом подпространстве существует базис, состоящий из корневых векторов максимально возможной в этом подпространстве высоты.
60.5. Доказать, что ненулевые корневые векторы различных высот, отвечающие одному собственному значению, линейно независимы.
60.6. Доказать, что ненулевые корневые векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
60.7. Показать, что корневой вектор / оператора А будет корневым вектором той же высоты: а) для оператора А — A0X; б) для оператора Д-1, если А обратим.
60.8. Пусть / - вектор из К\, имеющий высоту q. Показать, что:
а) система векторов
(А - ЛІ)'"1/, (А - AZ)'-2/, • • •, (А - AI)/, / (60.7)
линейно независима;
б) линейная оболочка системы (60.7) является инвариантным подпространством оператора А.
Систему векторов (60.7) называют серией, порожденной вектором /, а ее линейную оболочку - циклическим подпространством, порожденным вектором /.
60.9. Пусть L - циклическое подпространство, порожденное корневым вектором / высоты q оператора А. Построить матрицу оператора A\L в базисе (60.7).
60.10. Пусть L - циклическое подпространство, порожденное вектором / Є Kx высоты q оператора А. Построить матрицу оператора А\Ь в базисе /, (А - AX)/,..., (А - AX)9-1/-
