Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 19

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 87 >> Следующая

который дополним векторами f\ = (0,1,0,0)т, J2 = (0,0,0,1)т до базиса N2. Каждый из векторов /і и f2 порождает линейно независимые корневые векторы Bfi и Bf2 высоты 1 (т.е. из TVi). Так как их количество равно размерности TVi, построение канонического базиса закончено. Жорданова "лестница" имеет вид
N2
N1
/i =(0,1,0,0)т, /2 = (0,0,0,1)1
Б/і = (1,1,1,1)т, Bf2 = (1,1,0,0)7
Нумерация векторов базиса производится по столбцам жордановой "лестницы", в каждом столбце векторы нумеруются снизу вверх. Итак, векторы
ei = (1,1,1,1)т, е2 = (0,1,0,0)т, е3 = (1,1,0,0)т, е4 = (0,0,0,1)т образуют канонический базис, жорданова форма имеет вид
Aj
Г 1 1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма_55
T-1AT = Aj, где T
Заметим, что в выборе векторов /і и J2 существует определенный произвол. Во избежание лишних вычислений предпочтение надо отдать единичным векторам (если это оказывается возможным), так как вычисление произведений Bfi, В2fi,... сводится при этом к простому выделению соответствующих столбцов матриц В, В2,____¦
Пример 60.4. форму матрицы
Построить канонический базис и найти жорданову
A =
' 1 1 -1 -1 "
1 1 -1 -1
1 1 -1 -1
1 1 -1 -1
Решение. Характеристический многочлен матрицы А имеет вид у (Л) = Л4. Следовательно, матрица А обладает единственным собственным значением Л = 0 алгебраической кратности 4. Отвечающее ему корневое подпространство К\ имеет размерность 4.
Как и в примере 60.3, цепочка вложений (60.1) имеет вид
N1 CN2 = Kx1
причем г і = 1, пі = 3, общее решение, определяющее векторы из TVi имеет вид
Xi = —X2 + #3 + Z4 (60.4)
при любых #2, #3, #4; T2 = 0, п2 = 4 = dim К\ и любой вектор (х\, х2, #з, ха)т является вектором из N2.
Заметим, что из того, что п\ = 3, следует, что жорданова форма матрицы имеет ровно три жордановых клетки. Очевидно, что это могут быть лишь одна клетка второго порядка и две клетки первого порядка, так что жорданова форма матрицы А уже определена.
Построим канонический базис.
Так как п2 — п\ = 1, то единственный корневой вектор высоты 2 -вектор /1 = (1,0,0,0)т - может быть получен как дополнение базиса JVi: (-1,1,0,0)т, (1,0,1,0)т, (1,0,0,1)71 (воспользоваться (60.4)) до базиса N2. Вектор /і порождает корневой вектор высоты 1 - вектор Bfi = (1,1,1,1)т. Так как dim TVi = 3, то вектор Bj\ необходимо дополнить двумя векторами pi и д2 до базиса TVi. Чтобы найти эти векторы, опять воспользуемся общим решением (60.4):
Xl X2 Xz Х\
1 1 1 1 Bh
1 0 1 0
1 0 0 1 92
Таким образом, жорданова "лестница" имеет вид
N2 Д = (1,0,0,0)т,
N1 вд = (1,1,1,1)7", P1 = (I1O1I1Or, р2 = (1,о,о,1)т
56
Глава XV. Структура линейного оператора
и векторы ei = (1,1,1,1)т, е2 = (1,0,0,0)т, е3 = (1,0,1,0)т, е4 = (1,0,0,1)т образуют канонический базис, жорданова форма имеет вид
г 0 1 0 0
0 0 0 0
— 0 0 0 0
. 0 0 0 0
Пример 60.5. Найти канонический базис и жорданову форму матрицы
Г 3 -4 0 2 1
0 0 2 1
Решение. Как следует из примера 60.1, данная матрица обладает двумя корневыми подпространствами Aa1 и Kx2, отвечающими собственным значениям Ai = — IhA2 = I алгебраических кратностей 2, так что dim Kx1 = dim Kx2 — 2.
Канонический базис пространства представляет собой совокупность канонических базисов корневых подпространств Aa1 и Kx2- Рассмотрим по-отдельности эти подпространства.
Для подпространства Kx1 имеет место (см. пример 60.1) цепочка вложений
N1CN2=Kx1,
где пі = 1 (так что в жордановой форме матрицы ровно одна жорданова клетка с Ai = —1 на главной диагонали, причем второго порядка, так как dimAa1 = 2), n2 = 2, общее решение для векторов из TVi имеет вид
( х\ = х2,
{ х3 = 0, (60.5)
{ X4 = O
при любых х2, а для векторов из N2 - вид
{2 = о' (60-6)
при любых Xi,X2.
Соотношения (60.5) и (60.6) позволяют найти базис (1,1,0,0)т пространства TVi и дополняющий его до базиса N2 вектор /i = (1,0,0,0)7^:
Xi X2 #3 XA
1 1 0 0 Ni N2
1 0 0 0 h
Вектор /і - единственный корневой вектор высоты 2, отвечающий собственному значению Ai = — 1 (так как n2 — ni = 1), он порождает корневой вектор Bji = (4,4,0,0)т высоты 1. Так как ni = 1, построение канонического базиса подпространства Aa1 закончено: ei = (4,4,0,0)т, е2 = (1,0,0,0)т.
Аналогично строится канонический базис Kx2. Здесь цепочка вложений имеет вид
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
57
где пі = 1, 7i2 = 2, общее решение для векторов из TVi имеет вид
Г Xi = Я4, < Х2 = #4, t ?з = Х\
при любом Ж4, а для векторов из N2 - вид
( Xi = Яз, i Х2 — Х\
при любых 2:3,2:4.
Поступая так же, как и в подпространстве Aa1 , находим вектор Ji = (0,1,0,1)т, дополняющий базис (1,1,1,1)т подпространства Ni до базиса N2. Вектор Bfi = (—2, —2, —2, —2)т завершает построение канонического
базиса Kx2: е3 = (-2,-2,-2,-2)т, е4 = (0,1,0,1)т.
Таким образом, канонический базис пространства - это векторы ei = (4,4,0,0)т, е2 = (1,0,0,0)т, е3 = (-2,-2,-2,-2)т, е4 = (0,1,0,1)т, а жорданова форма матрицы А имеет вид
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed