Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
60.11. Доказать, что если К\{ - корневое подпространство оператора A1 соответствующее собственному значению Aj, то:
а) КХі есть корневое подпространство оператора А — A0X, соответствующее собственному значению Aj-A0;
б) Кх{ есть корневое подпространство оператора А~11 соот-вествующее собственному значению 1/Aj, если оператор А обратим.
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
61
60.12. Показать, что:
а) высота всякого вектора из КХі не превосходит алгебраической кратности собственного значения А;;
б) множество всех векторов из КХ{) высота которых не превосходит заданного к Є N, является подпространством, инвариантным относительно Л.
60.13. Доказать, что всякое корневое подпространство оператора Л является инвариантным подпространством любого оператора B1 перестановочного с Л.
60.14. Показать, что для того, чтобы оператор Л имел простую структуру, необходимо и достаточно, чтобы для каждого собственного значения Aj этого оператора собственное подпространство WXi совпадало с корневым подпространством КХг.
60.15. Доказать, что оператор простой структуры не имеет корневых векторов высоты больше единицы.
60.16. Доказать, что оператор простой структуры Л на каждом своем инвариантном подпространстве индуцирует оператор простой структуры.
Построить корневые подпространства следующих матриц.
60.17.
60.19.
-1 -3 -1
2 -1 0 1
60.18.
1
-4 4
О 1 2 -1
60.20.
1 0 ' -2 1 1 -2
2-3 4
1 -2 2
0 0 2
0 0 1
-6 -4 -3 -2
60.21. Оператор Л, действующий в n-мерном пространстве V1 называется одноклеточным, если максимальная возможная высота его корневых векторов совпадает с размерностью п пространства. Доказать, что:
а) всякий базис пространства V содержит по крайней мере один вектор высоты п;
б) если / - вектор высоты п, отвечающий собственному значению A0, то система векторов (Л — A0X)71"1/, (Л — A0X)n~2/,..., (Л — A0X)/, /, т.е. серия, порожденная вектором /, является базисом пространства V]
в) оператор обладает единственным собственным значением;
г) матрица оператора Л в базисе пункта "б)" есть жорданова
62
Глава XV. Структура линейного оператора
клетка порядка п, отвечающая этому собственному значению.
60.22. В условиях предыдущей задачи найти матрицу оператора А в базисе /, {A-X0T)J,..., (A-A0I)"-2/, {A-X0I)"-1/.
60.23. Пусть А - одноклеточный оператор и / - его корневой вектор максимальной высоты п, отвечающий собственному значению A0. Доказать, что в базисе /, Af, ¦.., An~l f его матрица совпадает с сопровождающей матрицей6 многочлена (A0 — А)".
Построить канонический базис и найти жорданову форму следующих матриц.
4 3
60.24.
11
-4
60.25.
2 1 0 2 0 0
60.27.
3 1 0 0"
0 2 1 0
0 0 2 1
-1 -1 -1 1
60.28.
5 -9 -
. 60.26. 6 ¦ -11 -
-7 13
Г 5 -10 10 -5 1"
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
Найти жорданову форму следующих матриц порядка п.
1 - -1 0 .. 0 0 '
0 - -1 -1 .. 0 0
60.29. 0 0 -1 .. 0 0
0 0 0 .. . -1 - -1
0 0 0 .. 0 - -1
" 1 a 0 0 ... 0 0 '
0 1 a 0 ... 0 0
60.30. 0 0 1 a 0 0
0 0 0 0 ... 1 a
_ 0 0 0 0 ... 0 a
" 9 0 0 ... 0 0
0 9 а2 0 ... 0 0
60.31. 0 0 9 a3 ... 0 0
0 0 0 0 ... 9 an_!
0 0 0 0 ... 0 9
где ...an_i^0.
6Cm. §57, задачу 57.91.
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма 63
' 1 1 1 1 .. . 1 "
0 1 1 1 .. . 1
60.32. 0 0 1 1 .. . 1
0 0 0 0 .. . 1
" 1 2 3 4 .. n
0 1 2 3 .. . n - -1
60.33. 0 0 1 2 .. . n - -2
_ 0 0 0 0 .. 1
" 2 3 4 5 .. . n + 1 -
0 2 3 4 .. n
60.34. 0 0 2 3 .. . n - -1
0 0 0 0 .. 2
a «із • . . O1 П
0 a «23 • . . U2 п
60.35. 0 0 a . • • аз Ті
0 0 0 . а
, где Ct12Ci23.. .ап_і,п ф 0.
60.36. Найти канонический базис и жорданову форму оператора V дифференцирования в пространстве многочленов Mn.
60.37. Доказать, что если Л - одноклеточный оператор с собственным значением A0 Ф 0, то одноклеточными будут также:
а) оператор Л2]
б) оператор Л1 для любого натурального числа /;
в) оператор Л'1.
60.38. Показать, что если А - одноклеточный оператор с нулевым собственным значением, действующий в пространстве размерности п > 1, то Л2 уже не будет одноклеточным оператором.
60.39. Доказать, что для одноклеточного оператора Л с собственным значением A0 дефект оператора (Л—A0X)fc при к = 1, п равен к.
60.40. Доказать, что одноклеточный оператор Л с собственным значением A0 не имеет нетривиальных инвариантных подпространств, отличных от подпространств кет(Л — A0X)fc.
60.41. Пусть Л и В - перестановочные одноклеточные опера-
64
Глава XV. Структура линейного оператора
торы. Доказать, что инвариантные подпространства этих операторов совпадают.
60.42. Пусть корневые векторы /ь ..., fp оператора Л, отвечающие собственному значению A0, образуют линейно независимую систему векторов высоты д, для которых никакая нетривиальная линейная комбинация не является корневым вектором высоты q — 1. Доказать, что векторы (Л — A0I)Zi,..., (Л — A0I)ір образуют линейно независимую систему векторов высоты q— 1, для которой никакая нетривиальная линейная комбинация не является корневым вектором высоты q — 2.
