Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ким Г.Д. -> "Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2" -> 18

Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.

Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 — M.: ИКД Зерцало-М, 2003. — 256 c.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка): kim-an-geom-2-2.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 87 >> Следующая

Подпространство TVi = ker В определяется однородной системой уравнений Bx = 0. Так как xgB = 3, то dim Ni = 1 < гаї, так что Ni Ф Kx1 и следует построить N2.
Подпространство N2 определяется однородной системой B2X = 0:
0 0 12 -8
0 0 8 -4
0 0 12 -8
0 0 8 -4
0 0 3 0 0 2
-2 І 0 -1 0
о о о о
1 -1
0 1
52
Глава XV. Структура линейного оператора
Так как TgB2 = 2, то dimTV2 = 2 = mi, так что = Таким
образом, корневое подпространство К\х определяется системой уравнений
Q Q 1 I 0 ] и ее ФУнДаментальная система решений е\ = (1,0,0,0)т,
е2 = (0,1,0,0)т образует базис Kx1.
2. Построим Kx2 • Для этого рассмотрим матрицу B = A- X2I = 2-402
4-6-2 4 0 0 2 -2 0 0 2 -2 Подпространство TVi определяется Bx = 0, эквивалентной системе
и найдем цепочку вложений (60.1).
однородной системой уравнении
1 -2 0 1 0 1 г 1 -2 0 1 0 1
2 -3 -1 2 0 -> 0 1 -1 0 0
0 0 1 -1 0 0 0 1 -1 0
Так как rg В = 3, то dim TVi = 1 < m2, так что TVi ф Kx2 и следует построить N2.
Подпространство N2 определяется однородной системой уравнений
В2х = 0. Имеем:
" -12 16 12 -16 0 "
-16 20 16 -20 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
-343-410 4 5 4-50
1 Г1 -1 -1 110] J^[O 1 о —1 I о J -
Так как XgB2 = 2, то dimN2 = 2 = m2, так что Kx2 = N2. Таким образом, корневое подпространство Kx2 определяется системой уравнений 1-1-1110 1
и его базис образует фундаментальная система ре-
0
1
0
-1 0
шений е3 = (1,0,1,0)т, е4 = (0,1,0,1)т.
Итак, оператор имеет два корневых подпространства Kx1 = ?(ei,e2) и Kx2 = ?(е3,е4), где ei = (1,0,0,0)т, е2 = (0,1,0,0)т, е3 = (1,0,1,0)т, е4 = (0,1,0,1)т. .
Пример 60.2. Привести матрицу
' 3 -4 0 2 '
4 -5 -2 4
0 0 3 -2
0 0 2 -1
подобным преобразованием к квазидиагональной форме с треугольным клетками на главной диагонали. Указать матрицу преобразования подобия.
Решение. Как следует из примера 60.1, оператор А, определяемый матрицей Л, обладает двумя корневыми подпространствами Kx11 Kx21 где
Ai = —1, X2 = 1, dim Aa1 = 2, dim Aa2 = 2. Следовательно, IR4 = Aa1 ф Kx2 и в базисе пространства, составленном как совокупность базисов Aa1 и Aa2, матрица оператора А имеет квазидиагональную форму
Г A1 О ] [О A2 \
§60. Корневые подпространства. Жорданова форма
53
где Ai и A2 - матрицы операторов A]Kx1 и А\К\2 в соответствующем базисе.
Найдем базисы, в которых клетки Ai и A2 имеют треугольный вид. Известно (пример 60.1), что если В = А — XiI, Nk = kerBk, то
NiCN2 = Kxx, где TVi и N2 определяются системами уравнений
1-10 1 0 0 10 0 0 0 1
0 1
0
0
¦ [
0 0 1-110 0 0 0 1 0
соответственно. Построим базис TVi: ei = (1,1,0,0)т и дополним его до базиса N2 вектором е2 = (1,0,0,0)т. Тогда Aei = — a, Ae2 = 4ei — е2 и
Аналогично, векторы ез = (1,1,1,1)т и ел = (1,0,1,0)т образуют базис К\2, в котором оператор A]Kx2 имеет треугольную форму
[S П
Таким образом, матрица А подобным преобразованием приводится к
виду
В =
-1 4 0 0 0-100
0 0 12
0 0 0 1
T 1AT = В и матрица T преобразования подобия имеет вид
1111 10 10 0 0 11 0 0 10
Пример 60.3. форму Aj матрицы
Построить канонический базис и найти жорданову
А =
0 -1 -1 -1
-1 -1 1 0
Указать матрицу T подобного преобразования, приводящего матрицу А к жордановой форме: T-1AT = Aj.
Решение. Метод выделения линейных множителей, примененный к det(i4—XI), дает характеристический многочлен матрицы А: /(Л) = (Л —1)4. Следовательно, матрица А обладает единственным собственным значением Л = 1, алгебраическая кратность которого равна четырем. Отвечающее ему корневое подпространство Kx имеет размерность 4.
54
Глава XV. Структура линейного оператора
Построим корневое подпространство К\. Для этого рассмотрим матри-
цу
B=A-I=
1 -1 1 -1 1 О 1 О
Обозначим Nk = кегБ*, гk = rg Вк, Пк = dim Nk (очевидно, Пк = 4 — г к). Рассмотрим ядра TVi, N2,..., Nq до момента q, когда ядро Nq будет совпадать с К\, т.е. когда nq = 4. Каждое ядро Nk определяется однородной
системой уравнений Bkx = 0.
1. Nn Bx = 0.
0 Г -1 1 0 0 I 0 I
Эта система равносильна системе q q _^ і о 'из К0Т0Р0И следует, что г і = 2, щ = 2 и общее решение системы имеет вид
Х2 = Xi, #3 = #4,
х\,х\ Є
(60.3)
Так как п\ < 4, то TVi ф К\, и следовательно, необходимо перейти к Ni.
Заметим, что из того, что n\ = 2 (п\ - геометрическая кратность собственного значения Л = 1), следует, что жорданова форма матрицы имеет ровно две жордановых клетки, однако размеры этих клеток пока неизвестны.
2. N2: B2X = O,
где В2 = О. Следовательно, T2 = 0, п2 = 4 и решением системы является любой вектор (sei,х2,яз,ха)Т Є Ш4. Так как n2 = 4 = dimAA, то корневое подпространство Aa построено: Aa = N2-
Заметим, что равенство n2 = 4 окончательно формирует жорданову форму матрицу, так как согласно (60.2) количество клеток второго порядка в ней равно числу t2 = — п\ + 2п2 — пз = —п\ + 2п2 — п2 = 2.
Теперь построим канонический базис К\.
Для этого найдем максимальную линейно независимую систему корневых векторов высоты 2, дополняющих какой-либо базис TVi до базиса N2. На основании соотношений (60.3) построим базис TVi: (1,1,0, 0)т, (0,0,1,1)т,
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed