Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
64.52. Показать, что для максимального и минимального собственных значений эрмитовой матрицы H = {hkj) справедливы оценки:
Ai > max /їм,
к
Xn < min/ifcfc.
к
64.53. Пусть максимальное собственное значение Ai эрмитовой матрицы H = {hkj) совпадает с некоторым диагональным элементом hkk. Доказать, что все внедиагональные элементы fc-й строки и fc-ro столбца матрицы равны нулю.
64.54. Пусть подпространство L натянуто на собственные векторы ei,..., ек эрмитова оператора H1 отвечающие собственным значениям Ai,..., Xkl занумерованным в порядке невозрастания. Доказать, что выполнены соотношения:
{Ux1 х) . {Ux1X) Ai = max —-—, Хк = min —-—.
х?Ь,хфв {X1X) х?Ь,хфО {X1X)
64.55. Пусть собственные значения A1,..., An эрмитова оператора U1 действующего в п-мерном пространстве V1 занумерованы в порядке невозрастания. Доказать следующую теорему
118 Глава ХУІ.Линейньїе операторы в унитарном пространстве
Куранта-Фишера: для каждого собственного значения Хк справедливы представления:
(Hx1 х) . . (Hx1X) Xk = max min —-—, = min max —-—.
Lk х€Ьк,хфО {X1X) in-fc+i хЄЬп-к + их^в (X1X)
В первом равенстве максимум берется по всем fc-мерным подпространствам Ьк пространства V\ аналогично, во втором равенстве минимум берется по всевозможным подпространствам Ln_fc+1 размерности п — к + 1.
64.56. Пусть Яп_1 - произвольная главная подматрица эрмитовой матрицы H порядка п. Используя теорему Куранта-Фишера, доказать, что собственные значения ,..., /іп_і матрицы Hn-I1 занумерованные в порядке невозрастания, разделяют собственные значения матрицы H1 иными словами, Ai > /ii > A2 > /і2 > ... ап_і > /іп_і > An.
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы
Теорема 65.1. Линейный оператор А в унитарном пространстве V эрмитов тогда и только тогда, когда
{Ax1X) ЄШ, Vx eV. (65.1)
Условие (65.1) формально верно и в евклидовом пространстве, однако лишено смысла, так как справедливо для любого линейного оператора А.
Самосопряженный оператор в унитарном (евклидовом) пространстве V называется положительно определенным, если
(Ах,х)>0, Vx ф в, неотрицательно определенным (отрицательно определенным, неположительно определенным), если (Ах,х) > О, Vx Є V (соответственно (Ах,х) < О, Vx ф в, или (Ах,х) < 0, Vx Є V). Обозначение: А > О, А > О, А < О, А < О соответственно. '
Эрмитова (симметрическая) матрица А порядка п называется положительно определенной, если для любого ненулевого вектора-столбца х Є Сп (соответственно X Є Кп)
хн Ax > О (соответственно X7 Ax > 0). Аналогично определяются отрицательно, неотрицательно и неположительно определенные матрицы.
Из определения следует, что оператор положительно определен тогда и только тогда, когда в любом ортонормированном базисе он имеет положительно определенную матрицу. Аналогичное утверждение имеет место и для операторов А > О, А < О, А < О.
Теорема 65.2. Самосопряженный оператор А в унитарном или евклидовом пространстве положительно определен (А > О, А < О,
§65. Знакоопределенные операторы и матрицы
119
А < О) тогда и только тогда, когда все его собственные значения Л положительны (соответственно, X > О, X < О, X < 0).
Следствие 1. Если А > О (или А < O), то А обратим.
Следствие 2. Определитель положительно (неотрицательно) определенного оператора положителен (соответственно неотрицателен).
Теорема 65.3. Оператор, обратный к положительно (отрицательно) определенному оператору, положительно (соответственно отрицательно) определен.
Теорема 65.4. Для любого неотрицательно (положительно) определенного оператора А существует, и притом единственный, неотрицательно (соответственно положительно) определенный оператор В такой, что В2 = А.
Оператор В называется квадратным корнем из оператора А и обозначается А ' . Аналогично определяется квадратный корень из положительно (неотрицательно) определенной матрицы А.
Пример 65.1. Найти квадратный корень из матрицы
A =
Решение. Найдем собственные значения матрицы А:
5- Л 5 3-3
det(A - XI) = 5 3 5-Л 3 -3 3 5-Л -5 =
-3 3 -5 5-Л
-Л Л 0 0 1 0 0 0
5 0 5-Л 0 3 -Л -3 -Л = Л2 5 10-Л 3 0 0 1 -6 0
-3 -3 -5 5 -Л -3 -6 -5 10-л
= х2 10 -Л ¦6 10 -6 -Л = Л2(Л-4)(Л-1б).
Итак, собственными значениями матрицы А являются числа Лі =0, A2 = 4, Лз = 16.
Так как все Л^ неотрицательны, то в силу теоремы 65.2 матрица А неотрицательно определена. Поэтому для нее существует квадратный корень Л1/2 (теорема 65.4).
Для нахождения А1/2 построим матрицу S преобразования подобия, приводящего исходную матрицу А к диагональной форме:
А = SAS'1, где Л = diag(0,0,4,16).
Тогда А1/2 = SA1Z2S"1, где Л1/2 = diag(0,0,2,4).
Чтобы построить матрицу S (см. пример 58.1), найдем базис из собственных векторов матрицы А. Так как матрица А симметрическая, то этот базис можно выбрать ортонормированным (теорема 64.1).
120 Глава XVI.Линейные операторы в унитарном пространстве
Собственные векторы, отвечающие Ai = 0, являются ненулевыми решениями системы
