Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть /(я) и ф(я)—-две функции от п, определенные для всех достаточно больших значений я, скажем для я^яс; пусть, далее, 9 (я) положительна и монотонно возрастает или убывает при возрастании я, так что 9 (я) стремится либо к нулю, либо к положительному пределу, либо к бесконечности, когда я -*- оо. В большинстве случаев 9 (я) будет какой-либо простой функцией, как, на-
Пределы, функций от целочисленного переменного І63
пример, - 1, л. В этих условиях мы вводим следующие определения.
(1) Если существует такая постоянная К, что
для всех п^па, то мы пишем
/=0(9).
(2) Если
при п -*¦ со, то мы пишем
/=о(9).
(3) Если
<р
где 1ф0, то мы пишем
fr^> /9
и говорим: / эквивалентно 9. В частности,
/=0(1)
означает, что / ограничена (так что она либо стремится к конечному пределу, либо ограниченно колеблется), и
/=0(1)
означает, что /->-0. Например,
л = 0(я2), 100л2+ 1 000л = О (л2), sinfl6;r = 0(l),
я = о(я2), 100л2-f- 1 000л = о (л3), sin л бтг = о (л),
л + 1-ол, 100л2 -f- 1 000л ~ 100л2, ?-j-sin?ojr^?
йрлР+а^Р-' + ... +ар Oo np-q
Ь0п9 + O1Ul^+ ...+bg Ь°П '
если а0 ф О, Ь0 ф 0.
Добавим одно замечание, предостерегающее против возможного недоразумения. Когда пишут „/=0('f)", то имеют в виду утверждение, которое часто выражают так: ,порядок величины / не выше порядка величины <р", которое вполне допускает, что порядок / ниже порядка «р (как в первом из приведенных выше примеров).
Пока мы определили только такие соотношения, как „/(я) = 0(1)", или „/(л) = о (л)", но не определили в отдельности символов „О (1)", или „о (я)". Мы можем, однако, сделать наши определения более гибкими. Мы можем договориться о том, что О (9) или о (9) будут 11»
164
Глава чеШертан
обозначать некоторые неопределенные, / тате, что /~0(ср) или /=0(9); и мы сможем тогда, например, записать, что 0(1) + 0(1) = 0(1) = 0(/1),
и понимать под этим, что „если /=0(1) и ^ = 0(1), то f-\~g = = 0(1,) и тем более /-)-?= о (я)". Или же мы сможем написать, что
л
SO(I) = O(B)1
понимая под этим, что сумма п членов, каждый из которых по абсолютной величине меньше некоторой постоянной, не превосходит постоянного кратного п.
Читатель заметит, что формулы, содержащие О и о, вообще говоря, необратимы. Так, „ о(1) = 0(1)", т. е. „если /=о(1), то /=0(1)" — верное утверждение, тогда как „О (1) = о(1)" — неверно.
Легко сформулировать несколько общих свойств наших символов, как, например,
(1) О (9) + 0(40 = О(9 + <10,
(2) О (ф) О ДО = 0(<рф),
(3) О (ф) о ДО = о (фф),
(4) если /~9, то /+о(9)~9..
Такие теоремы являются непосредственными следствиями из определений.
Полезность этих определений и соответствующих им определений для функций от непрерывного переменного станет ясной читателю в дальнейших главах.
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ IV
1. Функция 9(я) принимает значения 1, О, О, О, І, О, О, О, I, когда
я = О, I, 2.....Найти выражение для 9 (я) в виде формулы, не содержащей
тригонометрических функций.
[? (я) = \ {1 + (-1)" + і" + (- ')"}•]
2. Если tp (я) монотонно возрастает, a i>(n) монотонно убывает при я стремящемся к оо, и если ф (я) > 9 (я) для всех значений я, то 9 (я) и 41 (я) обе стремятся к пределам, и lim 9 (я) lim ф (я). [Это — непосредственное следствие из результатов п. 69.)
3. Доказать, что если
то 9 (я-)-1) > 9 (я) и <Ня4- 1)<й(я). [Первый результат был уже доказан в п. 73.]
4. Доказать также, что ф (я) > <р (я) для всех значений я, и вывести (используя предыдущие примеры), что 9 (я) и ф (я) обе стремятся к пределам при я —> оох).
Ч В гл. IX мы докажем, что lim {<Ь (я) — 9 (я)} = О и что, следовательно, каждая из этих функций стремится к пределу е.
Пределы функций от целочисленного переменного 165
13. Доказать, что если
и т. д., где X и А положительны, то MmXn = YA-
Г м • Xn-Y^ (х—УА\*1 Можно показать, что —-*+= = -*+=- .
L xn + YA \x+YA J
(Экз. 1931 г.)
і) Примеры 8—II взяты из книги Bromwich, Infinite series.
5. Обозначим среднее арифметическое произведений всех различных пар положительных целых чисел с суммой п через Sn. Показать, что
,. Sn I
lim-" = -=-. я2 6
(Экз. 1903 г.)
6. Если X1, X1,, Xn положительны, %хг = п, не все хг равны 1, а т рационально и больше 1, то > п.
(Экз. 1934 г.)
[Использовать неравенство хт—1>т(х — 1), справедливое для всех положительных, отличных от I, X (п. 74).]
7. Если tp (я) — положительное целое число для всех значений я и стремится к со вместе с я, то х4^ стремится к нулю, если 0<дг<1, и к +со, если х> 1. Исследовать поведение x'f^ при я—-оо для других значений х.
8 1L Если ап монотонно возрастает или убывает с возрастающим я, то так же ведет себя и
Й1 + <*2 + •. - + ап _ я
9. Функция f(x) возрастает и непрерывна (см. гл. V) для всех значений х и последовательность X1, х2, х3, ... определена соотношением Xn+1 = f(xn). Исследовать графически вопрос о стремлении хп к корню уравнения x = f(x). Рассмотреть, в частности, случай, в котором это уравнение имеет только один корень, различая случаи, когда кривая y=f(x) пересекает прямую у = х сверху вниз и снизу вверх.
