Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Q / 1- X" 1 1 1 1
а. сря (х; —^ _ j, хП_^ j, х„ _ j, ^„_^ ^n , ^ _ x_n .
хя — 1
10. Доказать, что если х>0, то функция стРемится к пределу
при я—*со и что предел имеет три различных значения в следующих трех стучаях: х<1, х=1 и х>1. (Экз. 1935 г.)
Рассмотреть также функции
яхя — 1 хя — я
154 Глава четвертая
') Бесконечная совокупность чисел может не содержать наименьшего члена. Например, совокупность, состоящая нз чисел
де имеет наименьшего члена.
17. <р„ (х) = (cos* хъ)п. [а(х) = 0, за исключением того случая, когда х целочисленно, а в этом случае сс(х) = 1.]
18. Если N^l 753, то число дней в Лґ-ом году и. э. рачно
Hm J365 + (cos» I N-f - (cos2 ^L- Nr.f + (cos* J_ №)"} .
80. Грани ограниченной совокупности. Пусть S — любая система или совокупность действительных чисел s. Если сз'ществует такое число К, что S^K для каждого s из S, то мы будем говорить, что 5 ограничена сверху. Если существует такое число k, что S^k для каждого s, то мы будем говорить, что S ограничена снизу. Если S ограничена сверху и снизу, то мы будем просто говорить, что S ограничена.
Предположим сначала, что S ограничена сверху (но не обязательно снизу). Тогда существует бесконечно много чисел, обладающих свойством числа К; например, все числа, большие К, наверно, обладают этим свойством. Мы докажем, что среди этих чисел имеется наименьшее*), которое мы обозначим через М. Ни одно число из S не превосходит этого числа М, но для каждого числа, меньшего М, в S найдется, по крайней мере, одно число, которое его превосходит.
Разобьем действительные числа ? на два класса LnR, относя % к L или к R, в зависимости от того, найдется ли в S число, превосходящее его, или нет. Тогда каждое ? будет принадлежать одному и только одному из классов LnR. Каждый класс существует, так как любое число, меньшее какого-либо члена S, принадлежит к L, тогда как К принадлежит к /?. Наконец, каждое число из L меньше одного из членов S и, следовательно, меньше любого числа из R. Таким образом, все три условия теоремы Деде-кинда (см. п. 17) выполнены, и существует число М, разделяющее эти классы.
Это число M и является тем числом, существование которого мы должны были доказать. Прежде всего, ни один член S не превосходит М, так как если бы такое s из S существовало, то мы могли бы положить
S=Ai-J-Y], где Y] положительно, и тогда число M + у принадлежало
бы к L, в силу того, что оно меньше s, и принадлежало бы к А5, в силу того, что оно больше М; но это невозможно. С другой стороны, любое число меньшее М, принадлежит к L, и поэтому в S найдется, по крайней мере, один член, превосходящий его. Таким образом, M действительно обладает всеми требуемыми свойствами.
Это число M мы называем точной верхней гранью S, и можем теперь сформулировать следующую теорему. Любая ограниченная сверху совокупность S имеет точную верхнюю грань М. Никакое число из S не превосходит М; но для любого числа, меньшего М, можно найти такое число из S, которое его превосходит.
Точно таким же образом мы можем доказать соответствующую теорему для совокупности, ограниченной снизу (но не обязательно сверху). Любая ограниченная снизу совокупность S имеет точную нижнюю грань т. Никакое число из S не меньше чем т; но для любого числа, большего т, можно найти такое число из S, которое меньше его.
Следует отметить, что если 5 ограничено сверху, то M =? К, а если S ограничено снизу, то m^k. Если S ограничено, то ft =? яг =? Л1 sg: АГ.
Пределы функций от целочисленного переменного 155
81. Грани ограниченной функции. Пусть ср(я)— функция положительного целочисленного переменного п. Совокупность всех значений ср(я) определяет множество S, к которому применимы рассуждения п. 80. Если S ограничено сверху, или ограничено снизу, или ограничено, то мы соответственно говорим, что ср(я) ограничена сверху или ограничена снизу, или ограничена. Если ср(я) ограничена сверху, т. е. если существует такое число АГ, что ср (п) sc; для всех значений п, то существует число М, обладающее следующими свойствами:
(1) ср(я)^Л1 для всех значений п;
(2) если 8 — любое положительное число, то ср (п) > M — 8 по крайней мере для одного значения п.
Это число M мы называем точной верхней гранью ср (п). Аналогично, если ср (я) ограничена снизу, т. е. если существует такое число к, что <? (п) * всех значений я, то существует число т, обладающее следующими свойствами:
(1) ср(я)^а/и для всех значений п;
(2) если 8 — любое положительное число, то ср (я) < т -\- S по крайней мере для одного значения п.
Это число т мы называем точной нижней гранью ср(я). Если К существует, то M =?К; если к существует, то m^k; если k и К существуют, то
ks^m г^ЛГ sgK.
82. Верхний и нижний пределы ограниченной функции. Предположим, что <р (я) — ограниченная функция, и что M и т — ее точные верхняя и нижняя грани. Возьмем любое действительное число ? и рассмотрим, какие неравенства могут иметь место между ? и значениями, принимаемыми ср (я) при больших п. Мы имеем здесь следующие три взаимно исключающих друг друга возможности:
