Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
5. Чему равна сумма ряда
(1 - г) + (г — г2) + (г2 — г3) + ...,
если этот ряд сходится? [Ряд сходится тогда и только тогда, когда — г < 1 г?С 1. Его сумма равна 1, если гфі, и равна О при г ==1.]
6. Найти сумму ряда г2 + ^j-^ + (т+7«)1 + • • • •
[Этот ряд всегда сходится. Если г^О, его сумма равна 1 + г2, а при г== О его сумма равна 0.]
7. Если предположить, что 1+г+с2 + ... сходится, то можно доказать
с помощью теорем (1) и (4) п. 77, что сумма этого ряда равна р~- Ибо если
1 + г+ г2 + .. . = s, то
s = l +r(l + r+r2 + ...) = l +rs.
8. Найти сумму ряда г -f~|q~4~ Ц~цг~^~\~ • • • в тех случаях, когда он
сходится. [Ряд сходится, если — 1< —~-< 1, т. е. если г< —2 или
1 + г
|*>0, а его сумма равна 1 + г. Он также сходится при г = 0, ив этом случае его сумма равна 0.]
9. Найти суммы следующих рядов в тех случаях, когда они сходятся:
r i + r + (i + r)2 г+ь=г^ + (ьГ7)2 + •••»
1-т+-г+Ш2 — ; 1 + г^-г+(гЬ)' + ----
10. Рассмотреть сходимость рядов
(1 + г) + (г2 + г3) + ..., (1 + г +г») + (/-3 + Vі + г) + ..., 1 — 2r + r2 + r3 — 2r4 + r5 + ..., (1 — 2r+r2) + (r3-2r4 + r5) + ..., и найти их суммы в тех случаях; когда они сходятся,
152 Глава четвертая
11. Если О ==: ап sg: 1, то ряд а0 + axr + a2r* +... сходится для 0 =? г < 1, и его сумма не превосходит j-- .
12. Если, кроме того, ряд а0 + O1 -)- as + ... сходится, то ряд а0 + air + -f- a2rs + ... сходится для 0 =? г =g: 1, и его сумма не превосходит меньшее из
двух чисел: а0 + O1 + а2 + ... и j—-- .
13. Ряд I+I+1I1 + -^ + ... сходится. [Так как у—J-„ ^ ^=T • ]
14. Ряды 1+^+І^3-^+...,1 + ї_^ + ^2Т1^+...
сходятся.
15. Общий гармонический ряд
і 4--JL 4-—^4-а тa4-^тa + 2*т"•^
где а и b положительны, расходится к +оо.
[Ибо «„ = ^p^ >^L_. Теперь сравнить с рядом 1 + +j +....]
16. Показать, что ряд
(U0 — U1)^(U1 — U1) + (U1-U3) + ...
сходится тогда и только тогда, когда Un стремится к пределу при я—«-со.
17. Если U1 + иц + U3 + ... расходится, то будет расходиться и любой ряд, составленный из него произвольным объединением его членов в скобки так, что выражение в каждых скобках образует член нового ряда.
18. Всякий ряд, составленный из части членов сходящегося ряда с положительными членами, будет сам сходящимся.
> 79. Представление функций непрерывного действительного переменного с помощью пределов. В предыдущих пунктах мы часто рассматривали пределы типа
п~*оо
и такие ряды как
«i(*) + e»(*) + --- = Hm {U1(X)-\-и2 (х)+¦... +Un(X)},
Л—¦¦CO
в которых функции от п, пределы которых мы ищем, содержат кроме п еще другое переменное х. В таких случаях предел является, конечно, функцией от х. Так, в п. 75 мы встретились с функцией
/(х) = \ітп(пУх~— 1);
/1—¦¦CO
сумма геометрической прогрессии 1 -\- x-j- хг ... также является функцией от х, а именно, функцией, которая равна L— , если *—1<^х<^1, и не определена для остальных значений х,
Пределы функций от целочисленного переменного 153
ях" -f 1' Xя -f я '
11. ПОСТРОИТЬ Пример, B КОТОРОМ Cf(X)=I (|х]>1), ср(х) = —1 (|х|<1) И Cp(X) = O (X=I И X = —1).
10 , ч_ (*2Я-1У Я
Тя [X)-X ^xU+1) , хп + х-п + п •
LO- Vn(X)— xn + l
[Здесь ср (X) =/(х)(IX I > 1);ср (X) = g(x)(\ х | < 1); ср (x)=j{f(x)+g(x)} (х — 1), и ср(х) не определена при х = — 1.]
14. Cpn(X) = |- arc tg (ях). [ср (X) = 1 (X > 0); ср (х) = 0 (х = 0); ср (х) = - 1
(х < 0), Эта функция играет важную роль в теории чисел и обычно обозначается символом sign X.]
15. <?„(x) = smm:x. [ср(х)=0, если X — целое число; ср (х) не определена Для остальных значений х (см. пример XXIV. 7).]
16. Если срл (х) = sin я! X т., то ср(х) = 0 для всех рациональных значений X (см. пример XXIV. 13). [Рассмотрение иррациональных значений X Представляет брльшне трудности,]
Многие из рассмотренных в гл. II функций, которые на первый взгляд представляются весьма „неестественными", имеют очень простое представление рассматриваемого типа, как читатель увидит из следующих примеров.
Примеры XXXI. 1. cpn(x) = x. Здесь я вовсе не входит в выражение для <ря (х), и ср (х) — lim cf„ (х) = X для всех значений х.
X
2. ср„ (jc) = — . Здесь ср (jc) = Hm сря (х) = 0 для всех значений х.
3. ср„ (х) — пх. Если X > 0, то cpn (х) —* -f- оо; если х < О, то ?„(#)—•¦ — ос. Тотько когда X = O, уп(х) имеет конечный предел, а именно, 0, при я—* ос. Таким образом, ср(х) = 0 при jc = 0 и не определена ни для каких других значений х.
. 1 пх
4- ^(^ = ^'я7+Т-
5. срп(х) = х". Здесь ij(x) = 0 (— 1<х<1); ср (х) = 1 (х = 1); ср(х) не определена ни для каких других значений х.
6. ср„(х) = хи(1 — х). Здесь ср(х) отличается от cp(jc) примера 5 только тем, что она имеет значение 0 при х=1.
хп
7. уп(х) =— • Здесь ср(х) отличается от <р(х) примера б только тем, что она имеет значение 0 как при jc = 1, так и при jc = —1.
8- Тя(*)=р^т [ср(л-) = 0 (-1<х<1); ср(х) = 1 (х=1); Cp(X) = I (лг<—1 или х>1); и ср(х) не определена при х = —1.1
