Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
4. Десятичная дробь с т знаками до периода и с п знаками в периоде равна дроби, знаменатель которой делится на 2т и 5т, но не делится ни на какую высшую степень 2 и 5.
5. Имеют место также утверждения, обратные утверждениям в примерах 3 и 4. Пусть г= — , и допустим, что q взаимно просто с 10. Если
мы будем делить все степени 10 на q, то получим не более q различных остатков. Поэтому можно найти два числа H1 и п2, где ^z1 >п2, так что Ю"1 и Ю"2 дают один и тотже остаток. Следовательно, Vf' —10"2 = 10"s(10"i — "2 — 1) делится на q, а следовательно, и 10" — 1, где п = Пі — п2, делится на q.
Следовательно, г может быть представлено в виде у^--^ или
P P
W + ТО»"1 +''"
т. е. как чисто периодическая десятичная дробь с п знаками н периоде. Пусть, с другой стороны, <7 = 2a5^Q, где Q взаимно просто с Ю, и пусть т — наибольшее из чисел а и ?; тогда 10mr имеет знаменатель, взаимно простой с 10, и может быть представлено в виде суммы Целого числа и чисто периодической десятичной дроби. Однако это уже неверно в отношении IW-г, где [а < т; следовательно, наша десятичная Дробь для г имеет в точности т знаков до периода,
150 Глава четвертая
6. К результатам примеров 2—5 мы должны добавить еще результат примера I. 3. Наконец, замечая, что
9 9 9 0, (9) = Yq + уда + YqT + • • • = 1'
мы видим, что всякая конечная десятичная дробь может быть представлена в виде смешанной периодической десятичной дроби с 9 в периоде. Например, 0,217 = 0,216(9). Таким образом, всякая дробь может быть представлена в виде смешанной периодической десятичной дроби, и наоборот.
7. Общие десятичные дроби. Представление иррациональных чисел в виде непериодических десятичных дробей. Каждая десятичная дробь, как периодическая, так и непериодическая, соответствует определенному числу между 0 и 1. Ибо десятичная дробь 0,O1O2O3O4 ... обозначает бесконечный ряд
0J 4- 4- -3 4-
іо"г"іо*"г"їо»"г" —
Так как каждое аг положительно или равно нулю, то сумма Sn первых «членов этого ряда возрастает вместе спи при этом не превосходит 0,(9), т. е. 1. Следовательно, Sn стремится к пределу, заключенному между 0 и 1.
Более того, никакие две десятичные дроби не могут соответствовать одному и тому же числу (кроме тех случаев, которые отмечены в примере 6). Ибо допустим, что 0,O1O2O3 §,Ьфф$ ...—две десятичные дроби, совпадающие до знаков аг_ъ br-it но что ar~>br Тогда ar^br-\--\-\>br, br+1br+2 ¦ ¦ • (если только не все br+l, br+2,... равны 9), и следовательно,
0,O1 а2... ar ar+i... > 0, bibi... br br+i.... Таким образом, выражения рациональных дробей в виде периодических десятичных (примеры 2—6) однозначны. Далее мы заключаем, что каждая десятичная дробь, которая не обрывается и не является периодической, представляет некоторое иррациональное число между 0 и 1. Обратно, всякое такое число может быть представлено в виде такой десятичной дроби, В самом деле, оно должно лежать в одном из интервалов
о L)J}- 1). .(L і ' loj ' ViO' ioj.....VW
Если оно лежит между ^ г и ~ (г+І)» то первым знаком будет г. Подразделяя этот интервал на 10 частей, мы можем аналогично определить второй знак и т. д. Но (примеры 3, 4) полученная десятичная дробь не может быть периодической. Так, например, десятичная дробь 1,414 получаемая с помощью обычного алгорифма извлечения 1/^2, не может быть периодической.
8. Десятичные дроби 0,1010010001000010... и 0,2020020002000020..., в которых число нулей между единицами и двойками с каждым шагом увеличивается на единицу, представляют иррациональные числа.
9. Десятичная дробь 0,11101010001010..., в которой я-ый знак есть 1, если я — простое число, и 0, если я — непростое, представляет простое число. [Так как число простых чисел бесконечно, эта десятичная дробь не обрывается. Она не может быть и периодической; действительно, если бы она была периодической, то мы могли бы определить тир так, что т, т-\-р, m-j-2p, т-\-Зр ... были бы все простые числа, а это невозможно» так как эта последовательность содержит т-{~тр1).}
1J Все результаты примеров XXIX могут быть обобщены, с соответ* ствующими изменениями, на двоичные, троичные и т. п. дроби,
Пределы, функций от целочисленного переменного 151
Примеры XXX. 1. Ряд rm + rm+l + ... сходится, если — 1 < r< 1, и его сумма равна у~Гг — 1 — ^ — ... — rm~i (см. (2) п. 77).
2. Ряд rm+ rm+1 + ... сходится, если —¦1<г<1, и его сумма равна -- (см. (4) п. 77). Проверить, что результаты примеров 1 и 2 совпадают.
3. Доказать, что ряд 1 + 2r-\- 2r2 + ... сходится и что его сумма равна 1 + г
1-г*
(1) записывая его в виде
_1+2(1 + г+г2 + ...),
(2) записывая его в виде
1+2(г+г» + ...),
(3) складывая два ряда 1+г+г2 + ... и г+ г2+... В каждом случае указать те теоремы из п. 77, которые применяются при доказательстве.
4. Доказать, что арифметическая прогрессия
a + (e + *) + (e + 2A) + ...
всегда расходится, кроме того случая, когда а и Ъ оба равны нулю. Показать, что если Ъ отлично от нуля, то ряд расходится к + оо или к —со, в зависимости от знака Ь, и что если 6 = 0, то он расходится к +со или к — со, в зависимости от знака а.
