Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
10. Если Arn+1=.——, где k ViXi положительны, то из последователь-
1 ~~гхп
ностей хи xs, хь, ... и х2, Xi, хе, ... одна возрастает, а другая убывает, причем каждая стремится к пределу а, являющемуся положительным корнем уравнения дг2 + х = k.
И. Если Xn+1 = Yk-^-Xn, где k и X1 положительны, то последовательность X1, х2, xs, ... — возрастающая или убывающая, в зависимости от того, будет X1 меньше или больше а, положительного корня уравнения x2 = x + k; и в каждом случае Xn—*а при я—-со.
12. Последовательность чисел хп определена соотношениями
X1 = H, Xn + 1 = Xn + А,
где 0 < k < и я заключено между корнями а и Ь уравнения
Xі — x + k = 0.
Доказать, что-
а <хп+1<хп<Ь
и определить предел Xn.
166 Глава четвертая
где а > ? > 0. Показать, что
"л-1 цЛ +1 _?Я +1
(я>1),
и определить предел un при я—*со. Исследовать случай а = (3>0.
15. Если X1, х-2 положительны и
(Элгз. 1933 г.;
1
Xn + i— 2 (xn~\~xn-i)>
то из последовательностей хи xs, X5,... и дг2, хІУ хе, ... одна убывает, а другая возрастает, и обе они стремятся к общему пределу —- (Xj + 2л:2). 16. Если hmsn = /, то
Si+ S2+ ... + Sn
hm
л-*оо
¦I.
[Пусть sn = / + tn. Тогда мы должны доказать, что ¦ " *л
стремится к нулю, если t„ стремится к нулю.
Разобьем числа tit tn на два множества: tu t2, tp и tp+i, tp+s> •••> tn- Предположим, что p является функцией от я, которая стремится к со при я—.со, но медленнее чем я, так что р—-оо и ^-—>0. Ha-
я
пример, мы можем взять в качестве р целую часть ]/я.
Пусть S — любое положительное число. Как бы мало ни было 8, мы всегда можем найти такое я„, что все числа tp+1, tp+2, .... tn будут по модулю
меньше чем "2 Ь, если я я„, и, следовательно,
1 « Я"
< 2
Но если А обозначает наибольший из модулей всех чисел tlt t-2, то мы имеем:
Ь + tl+...+tn
<
РА
и это также будет меньше чем ^ S при я^я„, если я0 достаточно велико,
так как '^-.0 при я-*со. Таким образом,
ч+<1т-+<Р
я
+
Я
при /1?? что и доказывает теорему.
Если читатель хочет добиться достаточно глубокого понимания вопросов, связанных с пределами, то он должен весьма тщательно продумать изложенное выше рассуждение. При доказательстве того, что предел некоторого выражения равен нулю, часто бывает необходимо разбить его на
14. Последовательность un определена соотношениями
Пределы, функций от целочисленного переменного 167
дне части, стремление которых в отдельности к нулю должно доказываться разными путями. В таких случаях доказательство никогда не бывает очень простым.
.. ^4-^4-...4-^ Идея доказательства следующая: нам нужно доказать, что 1—-'—-
мало, когда п велико, причем нам дано, что tn малы, когда их номер велик. Мы разбиваем сумму в числителе на две части. Слагаемые в первой части не все малы, ио их число мало по сравнению с п. Число слагаемых во второй части не мало в сравнении с я, но сами слагаемые все малы, а так как их число во всяком случае меньше я, то их сумма мала по сравнению
» Л+ *« +•¦• +1„ с п. Поэтому каждая из частей, на которые мы разбили —=—1-¦—-
мала, когда я велико.]
17. Если 9(я)—-а(я — при я-^оо, то ^~—>-1.
[Если 9 (я) = S1 4- S2 4- • • • + Sn, то э(я) — 9 (я — I) = Sn. и теорема сводится к теореме предыдущего примера.]
18. Если Sn= 2"{I- (—1)"}, так что Sn равно 1 или 0, в зависимости от того, нечетно я или четно, то
Si + S2 4-.. . + Sn 1
я
при я —> оо.
[Этот пример показывает, что теорема, обратная теореме примера 16, неверна, так как Sn колеблется при я-^оо.]
19. Если сп и Sn обозначают, соответственно, суммы первых я членов рядов
-j 4-cos в 4-cos 29 H----и sin 8 4- sin 26 + ...,
и в не кратно 2~, то
C1 + с2 + • • ¦ + сп п ,• Si 4- S24-.. .4- Sn 1 х в
hm — ' ^-— о, hm —і-1——-J—?- = ctg .
Я Я LL
20. Последовательность уп опреде.тена с помощью последовательности Xn соотношениями
у0 = х0, Уп = хп — ахп_1 (я>0),
где H < 1. Выразить Xn через уп и доказать, что еслиуп — I, то Xn—* ^--- .
(Экз. 1932 г.)
21. Начертить график функции у, определенной соотношением
^y = Hm
х2л sin I Tvx 4-х2
х2л + 1
(Экз. 1901 г.)
22. Функция
У = lim тр---г-;—
n-.cc 1 4-я sin2 JTX
равна 0, если х отлично от целого числа, и равна 1, если х — целое число. Функция
і- ФС*-) 4-tt9(x)sinarcx у = hm , —1V-,---
л— от 14-ttSina7tX
равна 9(х), если х не равно целому числу, и равна &(х), если х — целое
число.
168 Глава четвертая
23. Показать, что график функции
,. xn<f(x)+x~ni>(x)
состоит из частей графиков ср (х) и ср(дг) и еще (как правило) двух изолированных точек. Определено ли у (а) прн х = 1, (Ь) при х = — 1, (с) при д- = 0?
24. Доказать, что функция у, равная 0 для рациональных значений х и 1 для иррациональных значений х, может быть представлена в виде
у = lim sign {sin2 (mlr.x)}, т~*оо
где
2
sign X = Hm — arc tg (пх),
