Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
(1) ?:>=ср(я) для всех достаточно больших значений я;
(2) ї^ср(я) для всех достаточно больших значений я;
(3) ?<со (я) для бесконечно многих значений я и ?><р(я) также для бесконечно многих значений я.
В случае (1) мы будем называть ? верхним числом, в случае (2) —нижним числом, а в случае (3) — промежуточным числом. Ясно, что никакое верхнее число не может быть меньше т и что никакое нижнее число не может быть больше М.
Рассмотрим совокупность всех верхних чисел. Она ограничена снизу, так как ни один из ее членов ие меньше т, и поэтому имеет точную нижнюю грань, которую мы обозначим через Л. Аналогично, совокупность всех нижних чисел имеет точную верхнюю грань, которую мы обозначим через X.
Числа Л и X называются, соответственно, верхним и нижним пределом ср(я) при я стремящемся к бесконечности; мы будем также писать:
Л = Hm ср (я), X = Hm ср (я).
Эти числа обладают следующими свойствами:
(1) т^Х^А^М;
(2) Л и X являются, соответственно, точными верхней н нижней гранями совокупности промежуточных чисел, если таковые существуют;
(3) если S — любое положительное число, то ср (я) < Л -f- S для всех достаточно больших значений я и ср(я)>Л —S для бесконечной совокупности значений я;
. (4) аналогично, <р(я)>Х — S для всех достаточно больших значений я и 9(я)<X 4- 5 для бесконечной совокупности значений я;
156
Глава четвертая
(5) необходимым и достаточным условием для того чтобы <р (я) стремилась к пределу, является равенство Л = X, и если это условие выполнено, то общее значение / чисел Л и X и является пределом <р (я).
Из этих свойств (1) является непосредственным следствием определений; (2) мы можем доказать следующим образом. Если A = X = /, то существует не более одного промежуточного числа, а именно, /, и доказывать нечего. Допустим, поэтому, что Л > X. Любое промежуточное число ? меньше любого верхнего и больше любого нижнего числа, так что X =?? А. Но если X < S < А, то очевидно, должно быть промежуточным числом, так как оно не может быть ни верхним, ни нижним. Следовательно, промежуточные числа найдутся как угодно близко и к X и к А.
Для доказательства свойства (3) заметим, что A+ S является верхним, а А — 8— промежуточным или нижним числом. Утверждение является теперь непосредственным следствием определений; доказательство (4) проводится аналогично.
Наконец, докажем (5). Если A = X = /, то
1-8<у(п)<1 + 8
для любого положительного значения 8 и всех достаточно больших значений я, так что 9(я)—*/. Обратно, если <р(я)—*/, то написанные выше неравенства имеют место для всех достаточно больших значений я. Следовательно, 1 — 8 является нижним, а /-}- 8 — верхним числом, так что
XSaZ-S, A / + 8,
откуда А — X ==?2S. Но так как A-XSaO, то это возможно только в том случае, когда А = X.
Примеры XXXII. 1. Ни А, ни X не изменяются при изменении любого конечного числа значений 9 (я).
2. Если <р(я) = а для всех значений я, то т = \ = Л = М = а.
3. Если 9(я)=і,то /я = Х = A = O и M = I,
4. Если <р(я) = (— 1)", то /я = Х = — 1 н A = M=I.
5. Если <р (я) = (- 1)" -і-, то т = - 1, X = А = 0, M = * •
6. Если ?(я) = (- lf^l-f-Ij, то /я = -2, X = -1, A=I, ЛГ = -|.
7. Пусть 9 (я) = sin ябтг, где б>0. Если б — целое число, то
т = X = A = M = O.
Если б — рациональное, но нецелое число, то возникает целый ряд случаев.
Предположим, например, что 6 = — , где рад положительны, нечетны и
взаимно просты, причем q>l. Тогда 9 (я) принимает в циклическом порядке значения
sin^, sin2-^, ...,sin^-^sin
q q я я
Нетрудно видеть, что наибольшим и наименьшим из этих значений являются
TZ Jt
cos =- и — cos — , так что Iq 2q
TZ TZ
т = X = — cos=;- , A = M = COS1T-.
2q' 2q
Читатель может аналогично разобрать случаи, когда р и q це оба нечетньї.
Пределы, функций от целочисленного переменного 157
х) Несколько простых доказательств этого результата читатель найдет п следующей работе: Hardy and Littlewood, ,Some problems of Diophantine approximation", Acta mathematica, vol. XXXVII.
Случай иррационального 9 более сложен. Можно показать, что в этом случае /л = х = — 1 и A = M= I. Можно также показать, что значения ср (я) так распределены в интервале (—1, 1), что если ? — любое число нз этого интервала, то существует последовательность H1, я2, ... такая, что ср (?) — ? при к — со1).
Подобные же результаты получаются и в случае, когда ср (я) является дробной частью яО.
83. Общий принцип сходимости для ограниченной функции.
Результаты предыдущих пунктов позволят нам доказать одно очень важное необходимое и достаточное условие для того, чтобы ограниченная функция ср(я) стремилась к пределу. Это условие обычно называют общим принципом сходимости к пределу.
ТЕОРЕМА 1. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы ограниченная функция ср (я) стремилась к пределу, является существование такого числа я0 (8), что для любого заданного положительного 8 неравенство
I ?(«») — ?(«!>!<8
выполняется для всех значений H1 и я2 таких, что
