Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Харди Г.Х. -> "Курс чистой математики" -> 59

Курс чистой математики - Харди Г.Х.

Харди Г.Х. Курс чистой математики. Под редакцией Солнцева Н.Я. — М.: Иностранной летературы, 1949. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): kchm1949.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 191 >> Следующая


В случае 0<A<1 доказательство аналогично. Результат остается в силе при / = 0, если ?>0.]

5. Распространить результаты примеров XXVII. 7, 8, 9 на случай, когда г и A —любые рациональные числа.

п _

75. Предел п(У~х—1). В первом из неравенств (3) п. 74 положим г= и_^ , S = — . Тогда мы получим:

(я-1) (]/"о~- 1) > я (|/"a- 1),

я__

если а>1. Таким образом, если 9 (я) = я (у а — 1), то 9 (я) монотонно убывает прн возрастании я. Кроме того, 9 (я) всегда положительна. Следовательно, 9 (я) стремится к некоторому пределу / прн я—»оо, причем/2^0.

Если, далее, в первом из неравенств (7) п. 74 мы положим S= — то найдем, что

Пределы функций от целочисленного переменного 145

v=i

Если мы теперь предположим, что Sn стремится к пределу S при я-»-Co, то имеем

п

Это соотношение обычно записывается в одной из следующих форм:

со

2«v = s, bj + bj + b, + ... = «,

-»=1

Но nty~a—\)—f(а), н (см. пример XXVII. 10)

"/—

jAx-n.

Следовательно, если ? =-^- < 1, мы имеем:

п _

Наконец, если лг=1, то я (V"*—I) = O для всех значений я. Таким образом, мы получаем следующий результат: предел

п _ Hm л (V"-* — 1)

определяет функцию от х для всех положительных значений х. Эта функция f(x) обладает следующими свойствами:

она положительна для х > 1 и отрицательна для х < 1. В дальнейшем мы увидим, что эта функция совпадает с натуральным логарифмом от х. Пример. Доказать, что/(лгу) ==/(*) +/(у). [Использовать соотношения

/(лгу) = Hm л (frxy — 1) = Hm {я $~х— 1) У у + п (fry— 1)}.]

76. Бесконечные ряды. Предположим, что и (я) — любая функция от я, определенная для всех значений я. Если мы сложим значения и (у) для V = 1, 2, ..., я, то получим другую функцию от я, а именно,

s(B) = B(I) + н (2) + ... + и (я),

также определенную для всех значений я. Здесь удобно несколько изменить наши обозначения и записать последнее равенство в форме

^ = ? + ? + --- + ?.

или, короче,

п

10 Г. Харда

146

Глава четвертая

причем точки обозначают, что последовательность слагаемых kv бесконечна.

Смысл этих равенств, грубо говоря, заключается в том, что, складывая все большее и большее число слагаемых щ, мы получаем числа, все менее и менее отличающиеся от предела s. Точнее, если задано любое сколь угодно малое положительное число 8, мы можем найти такое л0(8), что сумма первых я0(8) или любого большего числа слагаемых заключена между s— 8 и s-j-8, т. е.

если я5зя0(8). В этих условиях мы будем называть ряд

»1+»* + ¦¦•

сходящимся бесконечным рядом и будем говорить, что s является суммой ряда или суммой всех членов ряда.

Таким образом, когда мы говорим, что ряд U1 -\- щ -\-... сходится и имеет сумму s, или сходится к сумме s, или просто сходится к S, мы утверждаем только то, что сумма

5« = «! + ? + --- + ?

первых л членов ряда стремится к пределу s при я—> co, так чтс рассмотрение таких бесконечных рядов не требует введения никаких новых понятий, кроме тех, с которыми читатель уже познакомился в первых пунктах настоящей главы. Действительно, сумма является просто некоторой функцией ф(л), представленной особым образом. Любая функция ф (л) может быть представлена таким образом, а именно,

<Р(я) = «Р(1) + {«Р(2)—«Р(1)} + ... + {«р(я) —«р(я—1};

поэтому иногда бывает удобно говорить, что <р (я) сходится (вместо „стремится") к пределу / при я —- со.

Если Sn—> + oo или sn- — со, то мы говорим, что ряд ui ~Ь к2 ~\- • • • расходится, или что он расходится к-\-со или, соответственно, к —со. Эти термины могут быть применены к любой функции ф(я); так, если 9(л)—»-[-со, то мы можем сказать, что 9(л) расходится к-j-oo. Если Sn не стремится ни к конечному пределу, ни к -j- со, ни к — со, то тогда Sn ограниченно или неограниченно колеблется; в этом случае мы говорим, что ряд, соответственно, ограниченно или неограниченно колеблется1).

77. Общие теоремы о бесконечных рядах. При рассмотрени. вопросов, связанных с бесконечными рядами, мы должны будем по стоянно пользоваться следующими общими теоремами.

1J Читатель должен быть предупрежден, что термины „расходящийся" и „колеблющийся" применяются разными авторами в разных смыслах. [В русской литературе под расходящимся рядом, как правило, понимают ряд, который не является сходящимся; расходящийся ряд в том смысле, в котором этот термин определен в тексте, иногда называют собственно расходящимся.— Прим. перев.]

Пределы функций от целочисленного переменного Ї47

(1) Если K1-J-K2-J--.. сходится и имеет сумму s, то a-[~KiH~ J- и.2 также сходится и имеет сумму a-\-s. Аналогично, а —I— & —{— г —f- ... —{— A —{— K1 —{— K2 —{— ... сходится и имеет сумму a~\-b -j-+ c... + k+s.

(2) Если U1 -f- H2 -4-... сходится и имеет сумму s, то иты-\-ит+г-\-... сводится и имеет сумму

S — U1 — щ —... — ит.

(3) Если какой-либо из рядов, рассмотренных в (1) и (2), расходится или колеблется, то так же ведут себя и остальные из рассмотренных рядов.

(4) Если H1-f-K2-f-• • . сходится и имеет сумму S, TO AH1-J-AK2-]-... сходится и имеет сумму ks.
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 191 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed