Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Допустим сначала, что х положительно. Тогда, так как гр (я -\~ 1) = = лгср(я), ср(я) возрастает вместе с я, если лг^> 1, и убывает при возрастании я, если лг<^1.
Если лг^>1, то Xа должно стремиться либо к конечному пределу (который должен быть, очевидно, большим 1), либо к-j-oo. Пусть х" стремится к пределу Тогда, согласно примеру XXV. 7, Hm со (я -\- 1) = = Hm со (я) = но
Hm со (я -j- 1) = Hm х со (я) = х Hm со (я) = лг/,
и, значит, /= л:/; однако это невозможно, так как хні оба больше 1. Следовательно,
— -f CO(AT >1).
Пример. Читатель может дать другое доказательство, показав, что, по биному Ньютона, хп > 1+я8, если S положительно и Ar = I-J-S, откуда
д;™ _|_ со.
С другой стороны, аг" является убывающей функцией, если аг<^1, и поэтому хп стремится либо к конечному пределу.либо к — со. Так как
1J ЭТО ЗавеДОМО будет ИМетЬ МЄСТО, КОЛЬ СКОрО -=7f <S.
Точки Р, P1, Ps, ... лежат каждая правее предыдущей, и, следовательно, Pn стремится к предельному положению Т. Аналогично, Qn стремится к предельному положению Т. Но TT', очевидно, меньше чем PnQn при
PQ
любом значении я; атак как PnQn равно -^-, то PnQn-^O. Следовательно, 7" совпадает с Т, и Pn и Qn обе стремятся к Т.
P3 O3
НО Г лава четвертая
1J Эти примеры особенно важны, и некоторые из них применяются дальше в тексте. Поэтому они должны быть внимательно изучены,
лг"положительно, вторая возможность отпадает. Таким образом,\\тхп=1, а так как попрежнему l = xl, то / должно быть нулем. Следовательно,
limjc" = 0 (0<дг<1).
Пример. Доказать, как в предыдущем примере, что стремится
к -f со, если 0<д:<1, и вывести отсюда, что хп стремится к 0.
Наконец, мы должны рассмотреть отрицательные х. Если — 1<С*<С0 и X=—у, так что0<^_у<^ 1,тоиз предыдущего следует, что lim_y" = 0, и поэтому limx" = 0. Если X = —1, то очевидно, что хп колеблется, принимая поочередно значения—1 и 1. Если же х<^-—1 и X = —у, так что_у^>1, то уп стремится к -4-оо, и поэтому хп принимает значения, поочередно положительные и отрицательные и по модулю превосходящие любое наперед заданное число. Следовательно, х* неограниченно колеблется. Таким образом,
ф (Я) —+ &)(*> 1),
lim ф (я)== 1 (лг = 1), 1ипф(я) = 0 (—10<1), Ф (я) ограниченно колеблется (х = — 1), Ф (я) неограниченно колеблется (х<^—1).
Примеры XXVH1). 1. Если <р (я) положительно и <р (я 4-1) Sa ЛГ? (я), где ЛГ>1, то tp (я) — 4- со. [Ибо
tp (я) Sa Kf (я - 1) SsЯ*<р (я -2) Ss...Sa /С"-1 <р (1),
откуда следует утверждение, так как К" —-со.]
2. Тот же результат остается в силе, если условия удовлетворяются только при я SaR0.
3. Если tp (я) положительно и tp (л 4- 1) Л"ср (л), где 0<А"<1, то Hm tp (я) = 0. Результат остается в силе, если условия удовлетворяются только при л5ал0.
4. Если j tp (л -f 1) I =? ЛГ| у (л) I при л Sa я0 и 0 < ЛГ< 1, то Hm tp (л) = 0,
5. Если © (л) положительно и Hm = / > і то (?^)^4-00-
tp (л) .
[Ибо мы можем определить щ так, что —> К> 1 при я5ая0; для
этого можно, например, взять ЛГ равным -^-(1 +О- Дальше применить пример 1.]
6. Если
lim?i*+L) = /> _!</<!, T (я)
то 1ітір(л) = 0. [Это следует из примера 4 так же, как пример 5 следует из примера 1.]
Пределы функций от целочисленного переменного І4І
"(я)
х—+х.
Допустим сперва, что х положительно. Тогда 9 (я)-*+00» если х>1 (см. пример 5), и 9 (я)—0, если х<1 (см. пример 6). Если х=1, то 9 (я) = пГ — + °°- Предположим, далее, что х отрицательно. Тогда | 9 (я) | = = пг I X I" стремится к 4- оо, если Ix I ^ 1, и к 0, если I x К 1. Следовательно, 9 (я) неограниченно колеблется, если x^ — 1, и 9 (я) —> 0, если — 1 < х < 0.]
8. Аналогично исследовать я^О:". [Результаты — те же, кроме того, что 9 (я) — 0 при х=1 или — 1.]
9. Составить таблицу, показывающую поведение пь х™ при я-* оо для всех действительных значений х и всех положительных и отрицательных целочисленных значений А.
[Читатель заметит, что значение k несущественно, кроме тех частных случаев, когда х = 1 или — 1. Так как
'""(-я-) =1'
независимо от того, положительно k илн отрицательно, предел отношения
(я + 1) , , *
9 (я) зависит только от х, и поведение 9 (я) определяется в общем
случае множителем хп. Множитель я* играет роль только в том случае, когда x равно 1 или —¦L]
я _
10. Доказать, что если х положительно, то "j/x —> 1 при я—*оо. [Допу-стим, например, что х>1. Тогда х, "j/х, ух, ... является убывающей по-
следовательностью, и |/ х > 1 для всех значений я. Следовательно, у х —> /,
где 1. Но если бы / было больше 1, то мы могли бы найти сколь угодно
л _
большие значения я, для которых їЛх>/ или x >а так как/" — 4"°° при я — оо, то это невозможно.]
11. ]^я-Л.[Ибо |/я+1<угя;если(я + 1)'г<яп+1 илн ^14-і|"<я,
что наверно выполняется для я^йЗ (см. доказательство в п. 73). Таким
п__
образом, у п убывает при я возрастающем от 3, а так как у п всегда больше 1, то он стремится к некоторому пределу, большему или равному 1.Ho
п-
